题目
4.已知A,B均为n阶方阵,则必有()A. (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2B. (AB)^T = A^T B^TC. AB = O_(n×n)时,A,B中至少有一个为零矩阵D. 以上都不对
4.已知A,B均为n阶方阵,则必有()
A. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
B. $(AB)^T = A^T B^T$
C. $AB = O_{n×n}$时,A,B中至少有一个为零矩阵
D. 以上都不对
题目解答
答案
D. 以上都不对
解析
本题主要考查方阵的运算性质,包括矩阵的乘法、转置以及平方运算等知识点。解题思路是根据矩阵运算的相关规则,对每个选项逐一进行分析判断。
选项A
根据矩阵乘法的分配律,$(A + B)^2=(A + B)(A + B)$,展开可得:
$(A + B)(A + B)=A(A + B)+B(A + B)=A^2+AB + BA + B^2$
一般情况下,矩阵乘法不满足交换律,即$AB\neq BA$,所以$(A + B)^2\neq A^2 + 2AB + B^2$,选项A错误。
选项B
根据矩阵转置的性质,对于两个矩阵$A$和$B$,有$(AB)^T = B^T A^T$,而不是$(AB)^T = A^T B^T$,选项B错误。
选项C
当$AB = O_{n×n}$时,不能得出$A$,$B$中至少有一个为零矩阵。例如,设$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$,则$AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_{2×2}$,但$A$和$B$都不是零矩阵,选项C错误。
由于选项A、B、C均错误,所以选项D正确。