1.沿下列路线计算积分 (int )_(0)^3+t(z)^2dz.-|||-(1)自原点至 3+i 的直线段;-|||-(2)自原点沿实轴至3,再由3沿竖直方向向上至 +i;-|||-(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 +i=.

考查要点：本题主要考查复变函数的线积分计算，以及积分与路径无关的条件。关键在于判断被积函数是否在积分区域解析，从而应用相关定理简化计算。

解题核心思路：

1. 识别被积函数性质：被积函数 $z^2$ 是多项式函数，在复平面内处处解析。
2. 应用柯西积分定理：若被积函数在积分路径所围区域解析，则积分与路径无关，仅与起点和终点有关。
3. 直接计算验证：通过参数化不同路径计算积分，结果应相同，进一步验证定理的应用。

方法一：利用原函数直接计算

被积函数 $z^2$ 的原函数为 $F(z) = \dfrac{z^3}{3}$。根据不定积分性质，积分结果为终点值减起点值：
$\int_{\text{起点}}^{\text{终点}} z^2 \, dz = F(\text{终点}) - F(\text{起点}) = \frac{(3+i)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{(3+i)^3}{3}.$

方法二：参数化路径计算

(1) 直线段路径

设路径为 $z(t) = (3+i)t$，$t \in [0,1]$，则 $dz = (3+i)dt$，积分变为：
$\int_0^1 [(3+i)t]^2 \cdot (3+i) \, dt = (3+i)^3 \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{(3+i)^3}{3}.$

(2) 分段路径（实轴→竖直方向）

• 沿实轴到3：设 $z(t) = t$，$t \in [0,3]$，则 $dz = dt$，积分：
  $\int_0^3 t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9.$
• 沿竖直方向到3+i：设 $z(t) = 3 + it$，$t \in [0,1]$，则 $dz = i dt$，积分：
  $\int_0^1 (3+it)^2 \cdot i \, dt = i \int_0^1 (9 + 6it - t^2) \, dt = i \left[ 9t + 3it^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = i \left( 9 + 3i - \frac{1}{3} \right).$
  计算后合并两部分结果，总和仍为 $\dfrac{(3+i)^3}{3}$。

(3) 分段路径（虚轴→水平方向）

• 沿虚轴到i：设 $z(t) = it$，$t \in [0,1]$，则 $dz = i dt$，积分：
  $\int_0^1 (it)^2 \cdot i \, dt = \int_0^1 (-t^2)i \cdot i \, dt = \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{1}{3}.$
• 沿水平方向到3+i：设 $z(t) = i + t$，$t \in [0,3]$，则 $dz = dt$，积分：
  $\int_0^3 (i + t)^2 \, dt = \int_0^3 (t^2 + 2it -1) \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} + i t^2 - t \right]_0^3 = 9 + 9i -3 = 6 + 9i.$
  合并两部分结果，总和仍为 $\dfrac{(3+i)^3}{3}$。