题目
[题目]设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3-|||-向量 overrightarrow ({a)_(1)}=((-1,2,-1))^T overrightarrow ({a)_(2)}=((0,-1,1))^T 是线性方程组-|||-Ax=0 的两个解.-|||-(1)求A的特征值与特征向量;-|||-(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 ^TAQ=A.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征值
由已知可得: $A{(1,1,1)}^{T}={(3,3,3)}^{T}$ , 即 ${\sigma }_{0}={(1,1,1)}^{T}$ 是A的特征向量,特征值为3.
步骤 2：确定特征向量
又:a1,a2都是 $AX=OB$ 的解,从而也是A的特征向量, 对应的特征值为0.
步骤 3：确定特征值的重数
由于a1,a2线性无关,特征值0的重数大于1, 于是A的特征值为3,0,0.
步骤 4：确定特征向量
属于3的特征向量为: $C{O}_{0},C\neq 0$.
属于0的特征向量: ${c}_{1}{a}_{1}+{c}_{2}{a}_{2},({a}_{1},{c}_{2})$ 不都为0.
步骤 5：正交化
将a0单位化,得: ${a}_{0}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$ .
对a1,a2作施密特正交化,得: ${\alpha }_{1}={(0,-\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {\sqrt {2}}{2})}^{T}$ .${a}_{2}={(-\dfrac {\sqrt {6}}{3},\dfrac {\sqrt {6}}{6},\dfrac {\sqrt {6}}{6})}^{7}$ .
步骤 6：构造正交矩阵
作: $Q=({a}_{0},{a}_{1},{a}_{2})$ .
步骤 7：验证正交矩阵
则Q是正交矩阵,并且: ${Q}^{T}AQ={Q}^{1}AQ=300000$.
由已知可得: $A{(1,1,1)}^{T}={(3,3,3)}^{T}$ , 即 ${\sigma }_{0}={(1,1,1)}^{T}$ 是A的特征向量,特征值为3.
步骤 2：确定特征向量
又:a1,a2都是 $AX=OB$ 的解,从而也是A的特征向量, 对应的特征值为0.
步骤 3：确定特征值的重数
由于a1,a2线性无关,特征值0的重数大于1, 于是A的特征值为3,0,0.
步骤 4：确定特征向量
属于3的特征向量为: $C{O}_{0},C\neq 0$.
属于0的特征向量: ${c}_{1}{a}_{1}+{c}_{2}{a}_{2},({a}_{1},{c}_{2})$ 不都为0.
步骤 5：正交化
将a0单位化,得: ${a}_{0}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$ .
对a1,a2作施密特正交化,得: ${\alpha }_{1}={(0,-\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {\sqrt {2}}{2})}^{T}$ .${a}_{2}={(-\dfrac {\sqrt {6}}{3},\dfrac {\sqrt {6}}{6},\dfrac {\sqrt {6}}{6})}^{7}$ .
步骤 6：构造正交矩阵
作: $Q=({a}_{0},{a}_{1},{a}_{2})$ .
步骤 7：验证正交矩阵
则Q是正交矩阵,并且: ${Q}^{T}AQ={Q}^{1}AQ=300000$.