题目
一、判断题（共10题，50.0分）3.（判断题，5.0分）运算lim_(xto0)xsin(1)/(x)=0 是对的.A 对B 错
一、判断题（共10题，50.0分）
3.（判断题，5.0分）
运算$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$ 是对的.
A 对
B 错
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，$\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内 oscillate，但 $x$ 趋于 0。根据极限的性质，有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。即：
\[
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0
\]
因为 $\sin \frac{1}{x}$ 有界（绝对值不超过 1），而 $x$ 趋于 0，故其乘积趋于 0。
因此，该运算正确。
答案：A 对
解析
本题考查极限的性质，具体是有界函数与无穷小量乘积的极限性质。解题思路是先判断函数$\sin\frac{1}{x}$的有界性，再判断$x$在$x\to0$时的性质，最后根据有界函数与无穷小量乘积的极限性质来计算$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$的值。
- 判断$\sin\frac{1}{x}$的有界性：
对于正弦函数$y = \sin t$，无论$t$取何值，其函数值都满足$-1\leqslant\sin t\leqslant1$。
在本题中，令$t = \frac{1}{x}$，那么$\sin\frac{1}{x}$同样满足$-1\leqslant\sin\frac{1}{x}\leqslant1$，即$\sin\frac{1}{x}$是有界函数。 - 判断$x$在$x\to0$时的性质：
当$x\to0$时，$x$是一个无穷小量，即$\lim_{x\to0}x = 0$。 - 根据有界函数与无穷小量乘积的极限性质计算极限：
根据极限的性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
因为$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，$x$在$x\to0$时是无穷小量，所以$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$。
因此，运算$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$是对的。