12.（10.0分）设X服从参数λ=1的指数分布，求Y=e^X的概率密度.

本题考查随机变量函数的概率密度求解，解题思路是先确定已知随机变量$X$的概率密度函数，再通过变量变换得到$Y$与$X$的关系，最后利用变量变换公式求出$Y$的概率密度函数。

1. 确定$X$的概率密度函数：
   已知$X$服从参数$\lambda = 1$的指数分布，根据指数分布的概率密度函数公式$f_X(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，可得$X$的概率密度函数为：
   $f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$
2. 进行变量变换：
   令$Y = e^X$，则$X = \ln Y$。
   当$x\gt0$时，$y = e^x\gt e^0 = 1$。
3. 利用变量变换公式求$Y$的概率密度函数：
   变量变换公式为$f_Y(y)=f_X(h(y))\left|\frac{dh(y)}{dy}\right|$，其中$h(y)$是$y$关于$x$的反函数，这里$h(y)=\ln y$。
   先对$h(y)=\ln y$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{d(\ln y)}{dy}=\frac{1}{y}$。
   再将$X = \ln Y$代入$f_X(x)$中，得到$f_X(\ln y)=e^{-\ln y}$。
   根据对数运算法则$a^{\log_a b}=b$，可得$e^{-\ln y}=e^{\ln y^{-1}}=\frac{1}{y}$。
   将$f_X(\ln y)=\frac{1}{y}$和$\left|\frac{d(\ln y)}{dy}\right|=\frac{1}{y}$代入变量变换公式，可得：
   $f_Y(y)=f_X(\ln y)\left|\frac{d(\ln y)}{dy}\right|=\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{y^2}$，其中$y\gt1$。
   当$y\leq1$时，$f_Y(y)=0$。
   综上，$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{y^2},&y\gt1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。