向量积在平面与直线方程中的应用题型一：题干中有2个向量与所求向量垂直(2024)15.(2)求通过直线l:}x=1+2ty=2+3tz=5t与平面pi:x+4y+3z+7=0垂直的平面方程.

设直线 $ l $ 的方向向量为 $ \mathbf{d} = (2, 3, 5) $，平面 $ \pi $ 的法向量为 $ \mathbf{n}_\pi = (1, 4, 3) $。所求平面的法向量 $ \mathbf{n} $ 应满足： 1. $ \mathbf{n} \perp \mathbf{n}_\pi $，即 $ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_\pi = 0 $； 2. 所求平面包含直线 $ l $，即 $ \mathbf{n} \perp \mathbf{d} $，或通过直线上的点。 由条件1，设 $ \mathbf{n} = (A, B, C) $，则 $ A + 4B + 3C = 0 $。 由条件2，直线 $ l $ 上的点 $ P(1, 2, 0) $ 在平面上，且方向向量 $ \mathbf{d} $ 在平面上，故 $ 2A + 3B + 5C = 0 $。 解方程组： \[ \begin{cases} A + 4B + 3C = 0 \\ 2A + 3B + 5C = 0 \end{cases} \] 得 $ A = 11B $，$ C = -5B $。代入点 $ P $，得 $ D = -13B $。 因此，所求平面方程为： \[ 11x + y - 5z = 13 \] 或等价地： \[ 11x + y - 5z - 13 = 0 \] **答案：** $\boxed{11x + y - 5z = 13}$（或$\boxed{11x + y - 5z - 13 = 0}$）