设 r = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2) 为源点 x' 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商 ( nabla' = e_x (partial)/(partial x') + e_y (partial)/(partial y') + e_z (partial)/(partial z') ) 与对场变数求微商 ( nabla = e_x (partial)/(partial x) + e_y (partial)/(partial y) + e_z (partial)/(partial z) ) 的关系：[nabla r = -nabla' r = (r)/(r)][nabla (1)/(r) = -nabla' (1)/(r) = -(r)/(r^3)][nabla times (r)/(r^3) = 0][nabla cdot (r)/(r^3) = -nabla' cdot (r)/(r^3) = 0 (r neq 0)](最后一式在 r=0 点不成立，见第二章 §5)。(2) 求 nabla cdot r，nabla times r，(a cdot nabla) r，nabla (a cdot r)，nabla cdot [E_0 sin (k cdot r)] 及 nabla times [E_0 sin (k cdot r)]，其中 k 及 E_0 均为常矢量。

设 $r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$ 为源点 $x'$ 到场点 $x$ 的距离，$r$ 的方向规定为从源点指向场点。

(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商 $\left( \nabla' = e_x \frac{\partial}{\partial x'} + e_y \frac{\partial}{\partial y'} + e_z \frac{\partial}{\partial z'} \right)$ 与对场变数求微商 $\left( \nabla = e_x \frac{\partial}{\partial x} + e_y \frac{\partial}{\partial y} + e_z \frac{\partial}{\partial z} \right)$ 的关系：

$
\nabla r = -\nabla' r = \frac{r}{r}
$

$
\nabla \frac{1}{r} = -\nabla' \frac{1}{r} = -\frac{r}{r^3}
$

$
\nabla \times \frac{r}{r^3} = 0
$

$
\nabla \cdot \frac{r}{r^3} = -\nabla' \cdot \frac{r}{r^3} = 0 \quad (r \neq 0)
$

(最后一式在 $r=0$ 点不成立，见第二章 §5)。

(2) 求 $\nabla \cdot r$，$\nabla \times r$，$(a \cdot \nabla) r$，$\nabla (a \cdot r)$，$\nabla \cdot [E_0 \sin (k \cdot r)]$ 及 $\nabla \times [E_0 \sin (k \cdot r)]$，其中 $k$ 及 $E_0$ 均为常矢量。