设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：P(X=0,Y=0)=0.2，P(X=0,Y=1)=0.3，P(X=1,Y=0)=0.1，P(X=1,Y=1)=0.4。则X与Y是否独立？A. 独立B. 以上均不对C. 不独立D. 无法判断

本题考查二维随机变量独立性的判断。解题思路是先根据联合分布律计算出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布律，然后检验对于所有的 $i$ 和 $j$ 是否都满足 $P(X = i, Y = j) = P(X = i) \cdot P(Y = j)$，若满足则 $X$ 与 $Y$ 独立，若不满足则 $X$ 与 $Y$ 不独立。

步骤一：计算 $X$ 的边缘分布律

• $P(X = 0)$ 是 $X = 0$ 时所有可能 $Y$ 值对应的联合概率之和，即：
  $P(X = 0)=P(X = 0, Y = 0)+P(X = 0, Y = 1)=0.2 + 0.3 = 0.5$
• $P(X = 1)$ 是 $X = 1$ 时所有可能 $Y$ 值对应的联合概率之和，即：
  $P(X = 1)=P(X = 1, Y = 0)+P(X = 1, Y = 1)=0.1 + 0.4 = 0.5$

步骤二：计算 $Y$ 的边缘分布律

• $P(Y = 0)$ 是 $Y = 0$ 时所有可能 $X$ 值对应的联合概率之和，即：
  $P(Y = 0)=P(X = 0, Y = 0)+P(X = 1, Y = 0)=0.2 + 0.1 = 0.3$
• $P(Y = 1)$ 是 $Y = 1$ 时所有可能 $X$ 值对应的联合概率之和，即：
  $P(Y = 1)=P(X = 0, Y = 1)+P(X = 1, Y = 1)=0.3 + 0.4 = 0.7$

步骤三：检验独立性

• 当 $i = 0$，$j = 0$ 时，$P(X = 0, Y = 0) = 0.2$，而 $P(X = 0) \cdot P(Y = 0)=0.5\times0.3 = 0.15$，因为 $0.2\neq0.15$，即 $P(X = 0, Y = 0)\neq P(X = 0) \cdot P(Y = 0)$。
  由于只要存在一组 $i$ 和 $j$ 不满足 $P(X = i, Y = j) = P(X = i) \cdot P(Y = j)$，就可以判定 $X$ 与 $Y$ 不独立，所以无需再检验其他组合。