[题目]-|||-曲面 =(x)^2+(y)^2 与平面-|||-2x+4y-z=0 ()平行的切平面方程是 __-|||-__

考查要点：本题主要考查曲面切平面方程的求法，以及两平面平行的条件。
解题思路：

1. 确定曲面法向量：利用曲面方程求梯度，得到切平面的法向量。
2. 平面平行条件：两平面平行时法向量成比例，由此建立方程求解切点坐标。
3. 代入切点求方程：用切点坐标和法向量写出切平面方程。

关键点：

• 曲面法向量的计算：对隐函数求梯度时，注意符号。
• 比例关系的应用：通过法向量分量成比例确定切点坐标。

1. 求曲面法向量

曲面方程为 $z = x^2 + y^2$，可改写为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0$。
梯度为 $\nabla F = (2x, 2y, -1)$，即切平面的法向量为 $(2x, 2y, -1)$。

2. 平面平行条件

给定平面 $2x + 4y - z = 0$ 的法向量为 $(2, 4, -1)$。
两平面平行时，法向量成比例：
$\frac{2x}{2} = \frac{2y}{4} = \frac{-1}{-1}$
解得 $x = 1$，$y = 2$。

3. 求切点坐标

将 $x = 1$，$y = 2$ 代入曲面方程，得 $z = 1^2 + 2^2 = 5$，切点为 $(1, 2, 5)$。

4. 写切平面方程

法向量为 $(2, 4, -1)$，代入点 $(1, 2, 5)$，方程为：
$2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0$
化简得：
$2x + 4y - z - 5 = 0$