题目
计算题（共3题，50.0分）题型说明：将解答过程拍照上传，图片要清晰。13. (10.0分) 求微分方程的通解：2y'-y=e^x
计算题（共3题，50.0分）
题型说明：将解答过程拍照上传，图片要清晰。
13. (10.0分) 求微分方程的通解：
2y'-y=$e^{x}$
题目解答
答案
为了求解微分方程 $2y' - y = e^x$ 的通解，我们可以使用积分因子法。以下是步骤：
1. **将方程写成标准形式：**
微分方程 $2y' - y = e^x$ 可以重写为：
\[
y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x
\]
这是线性一阶微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = -\frac{1}{2}$ 和 $Q(x) = \frac{1}{2}e^x$。
2. **找到积分因子：**
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出：
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{2} \, dx} = e^{-\frac{1}{2}x}
\]
3. **将方程乘以积分因子：**
将微分方程 $y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x$ 的两边乘以 $e^{-\frac{1}{2}x}$：
\[
e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^x e^{-\frac{1}{2}x}
\]
简化右边：
\[
e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}
\]
左边是乘积 $e^{-\frac{1}{2}x}y$ 的导数：
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{2}x}y\right) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}
\]
4. **对两边关于 $x$ 积分：**
\[
e^{-\frac{1}{2}x}y = \int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx
\]
为了计算右边的积分，使用代换 $u = \frac{1}{2}x$，所以 $du = \frac{1}{2}dx$：
\[
\int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{\frac{1}{2}x} + C
\]
因此：
\[
e^{-\frac{1}{2}x}y = e^{\frac{1}{2}x} + C
\]
5. **解出 $y$：**
两边乘以 $e^{\frac{1}{2}x}$：
\[
y = e^x + Ce^{\frac{1}{2}x}
\]
微分方程 $2y' - y = e^x$ 的通解是：
\[
\boxed{y = e^x + Ce^{\frac{1}{2}x}}
\]
解析
步骤 1：将方程写成标准形式
微分方程 $2y' - y = e^x$ 可以重写为：\[ y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x \] 这是线性一阶微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = -\frac{1}{2}$ 和 $Q(x) = \frac{1}{2}e^x$。
步骤 2：找到积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出：\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{2} \, dx} = e^{-\frac{1}{2}x} \]
步骤 3：将方程乘以积分因子
将微分方程 $y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x$ 的两边乘以 $e^{-\frac{1}{2}x}$：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^x e^{-\frac{1}{2}x} \] 简化右边：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \] 左边是乘积 $e^{-\frac{1}{2}x}y$ 的导数：\[ \frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{2}x}y\right) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \]
步骤 4：对两边关于 $x$ 积分
\[ e^{-\frac{1}{2}x}y = \int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx \] 为了计算右边的积分，使用代换 $u = \frac{1}{2}x$，所以 $du = \frac{1}{2}dx$：\[ \int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{\frac{1}{2}x} + C \] 因此：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y = e^{\frac{1}{2}x} + C \]
步骤 5：解出 $y$
两边乘以 $e^{\frac{1}{2}x}$：\[ y = e^x + Ce^{\frac{1}{2}x} \]
微分方程 $2y' - y = e^x$ 可以重写为：\[ y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x \] 这是线性一阶微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = -\frac{1}{2}$ 和 $Q(x) = \frac{1}{2}e^x$。
步骤 2：找到积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出：\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{2} \, dx} = e^{-\frac{1}{2}x} \]
步骤 3：将方程乘以积分因子
将微分方程 $y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}e^x$ 的两边乘以 $e^{-\frac{1}{2}x}$：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^x e^{-\frac{1}{2}x} \] 简化右边：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \] 左边是乘积 $e^{-\frac{1}{2}x}y$ 的导数：\[ \frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{2}x}y\right) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \]
步骤 4：对两边关于 $x$ 积分
\[ e^{-\frac{1}{2}x}y = \int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx \] 为了计算右边的积分，使用代换 $u = \frac{1}{2}x$，所以 $du = \frac{1}{2}dx$：\[ \int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{\frac{1}{2}x} + C \] 因此：\[ e^{-\frac{1}{2}x}y = e^{\frac{1}{2}x} + C \]
步骤 5：解出 $y$
两边乘以 $e^{\frac{1}{2}x}$：\[ y = e^x + Ce^{\frac{1}{2}x} \]