2.设平面区域-|||-= (x,y)|-1leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1| ,-|||-试由定义证明:-|||-iint xdx=0.

考查要点：本题主要考查二重积分的定义及其在对称区域上的积分性质，特别是奇函数在对称区间上的积分特性。

解题核心思路：

1. 分割区域：将积分区域 $D$ 分成若干小区域，每个小区域的面积趋于零；
2. 近似求和：在每个小区域内任取样点，构造积分和；
3. 极限运算：通过取极限得到积分值；
4. 奇偶性简化：利用被积函数在对称区域上的奇偶性直接判断积分结果。

破题关键：

• 区域 $D$ 在 $x$ 轴方向对称（$-1 \leq x \leq 1$），而被积函数若为关于 $x$ 的奇函数，则积分结果为 $0$。

题目修正：原题积分表达式书写不规范，推测正确题目应为计算二重积分 $\iint_D x y \, d\sigma$，其中 $D = \{ (x,y) \mid -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$，并证明其值为 $0$。

步骤解析

1. 分割区域

将区域 $D$ 沿 $x$ 轴方向分割为 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，沿 $y$ 轴方向分割为 $m$ 个小区间 $[y_{j-1}, y_j]$，形成 $n \times m$ 个小矩形 $\Delta S_{ij} = \Delta x_i \cdot \Delta y_j$。

2. 构造积分和

在每个小区间 $\Delta S_{ij}$ 内任取样点 $(x_i^*, y_j^*)$，积分和为：
$S = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_i^* y_j^* \cdot \Delta S_{ij}$

3. 分析被积函数性质

被积函数 $f(x,y) = x y$ 中，$x$ 是关于 $x$ 的奇函数，$y$ 在 $y \in [0,1]$ 上为偶函数。关键点在于：

• 在对称区间 $[-a,a]$ 上，奇函数的积分结果为 $0$。

4. 计算积分

对 $x$ 积分时，$\int_{-1}^1 x \, dx = 0$，因此整体二重积分结果为 $0$。