题目
已知一调和函数v=e^x(ycosy+xsiny)+x+y,求一解析函数v=e^x(ycosy+xsiny)+x+y,使v=e^x(ycosy+xsiny)+x+y。
已知一调和函数
,求一解析函数
,使
。
题目解答
答案
解: 因为
我们知道,
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算给定调和函数$y={e}^{x}(y\cos y+x\sin y)+x+y$的偏导数$\dfrac {\partial y}{\partial x}$和$\dfrac {\partial y}{\partial y}$。这将帮助我们找到解析函数的实部$u$和虚部$v$。
步骤 2：确定实部$u$
利用$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$，我们可以通过积分$\dfrac {\partial v}{\partial y}$来确定实部$u$。这里，$\dfrac {\partial v}{\partial y}$是$\dfrac {\partial y}{\partial y}$的值。
步骤 3：确定虚部$v$
利用$\dfrac {\partial y}{\partial x}=\dfrac {\partial u}{\partial y}$，我们可以通过积分$\dfrac {\partial u}{\partial y}$来确定虚部$v$。这里，$\dfrac {\partial u}{\partial y}$是$\dfrac {\partial y}{\partial x}$的值。
步骤 4：确定解析函数$f(z)$
将实部$u$和虚部$v$组合起来，得到解析函数$f(z)=u+iv$。然后，利用$f(0)=0$的条件来确定常数$C$。
首先，我们需要计算给定调和函数$y={e}^{x}(y\cos y+x\sin y)+x+y$的偏导数$\dfrac {\partial y}{\partial x}$和$\dfrac {\partial y}{\partial y}$。这将帮助我们找到解析函数的实部$u$和虚部$v$。
步骤 2：确定实部$u$
利用$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$，我们可以通过积分$\dfrac {\partial v}{\partial y}$来确定实部$u$。这里，$\dfrac {\partial v}{\partial y}$是$\dfrac {\partial y}{\partial y}$的值。
步骤 3：确定虚部$v$
利用$\dfrac {\partial y}{\partial x}=\dfrac {\partial u}{\partial y}$，我们可以通过积分$\dfrac {\partial u}{\partial y}$来确定虚部$v$。这里，$\dfrac {\partial u}{\partial y}$是$\dfrac {\partial y}{\partial x}$的值。
步骤 4：确定解析函数$f(z)$
将实部$u$和虚部$v$组合起来，得到解析函数$f(z)=u+iv$。然后，利用$f(0)=0$的条件来确定常数$C$。