题目
1.求下列微分方程的通解:(1） xy'-ylny=0 ;2） 3x^2+5x-5y'=0 ;3） √(1-x^2)y'=√(1-y^2)4） y'-xy'=a(y^2+y') ;(5) sec^2xtanydx+sec^2ytanxdy=0 ;(6) (dy)/(dx)=10^(x+y)(7） (e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0 ;(8) cosxsinydx+sinxcosydy=0 ;9） (y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0dx(10) ydx+(x^2-4x)dy=0
1.求下列微分方程的通解:(1） xy'-ylny=0 ;2） 3x^2+5x-5y'=0 ;3） √(1-x^2)y'=√(1-y^2)4） y'-xy'=a(y^2+y') ;(5) sec^2xtanydx+sec^2ytanxdy=0 ;(6) (dy)/(dx)=10^(x+y)(7） (e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0 ;(8) cosxsinydx+sinxcosydy=0 ;9） (y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0dx(10) ydx+(x^2-4x)dy=0
题目解答
答案
答案y=e^(cx) y=1/5x^3+1/2x^2+c,(3) (1;(2)arsnyrsnx+CC14)y^(-1)=a(n|x+a-1|+c 51+any=1/(tanx)+c 10^x+10^(-y)+c=0 ;(6);(7)e^y-1=1/(e^x+1)+c (8);(9)C;(10)sinxsiny=c y^3+3y^2+3y+1=3/4x^4+c y=c(x/(x-4))^(1/a) 解析本题主要考查微分方程求通解(1)分离变量(2)分离变量(dy)/(ylny)=(dx)/x 边不积分5dy=(3x^2+5x)dx ,两边不变积分∫(dy)/(ylm)=∫(dx)/x⇒ ln(lny)=|nx+lnc| 5y=x^3+5/2x^2+c lny=C_x 得,BP=e^(cx) 得y=1/5x^3+1/2x^2+c (31分变量(5)分离变量(dy)/(√(1-y^2))=1/(√(1-x^2))dx ,两边不定积分(se^2^3dy)/(tany)=-(50c^3⋅dx)/(t^(0e)) ∫(dy)/(√(1-g^2))=∫(dx)/(√(1-x^2)) 两边不定积分∫(5e^2gdy)/(f(x^2y)=-∫(8x^2y|x^4)/(t^2) 得 arcsiny=arcsinx+c得lutary=ntanx+lc.即:tany=1/(tanx)+c (4)分离变量(6)分变量(dy)/(y^2)=(adx)/(1-x-a) 1/(10)dy=10^xdx ,边不定积分两边不定积分∫(dy)/(y^2)=∫(edx)/(1-x-a) ∫1/(109)dy=∫cos^xdx 得y^(-1)=aln(x+a-1)+c ⇒1/(10)=(10^4)/(1010)+c 得10^x+10^(-y)+C=0解析(7)提取公因式(8)分离变量e(e^y-1)dx+e^y(e^x+1)dy=0 (10sy)/(sing)dy=-(10xy)/(sinx)dx 分量(Pg)/(e^3-1)dy=-(e^x)/(e^x+1)dx 边不定积分得∫(cosy)/(siny)dy=-∫(cosx)/(sinx)dx 秋∫(e^((e^x)/(e^x))dx)/dx=∫e^x+1)dx ·得|n(siny)=-|n(sinx)+lnc |n(e^y-1)=-|n(e^x+1)+|nc)| 即:sinxsiny=c 得e^y-1=1/(e^x+1)+C (9)分离变量(10)分离变量.ly+1)^2=-x^3dx (ay)/y=-(b^2x)/(x^2-4x) 两边不定分∫_(-1)^1(y+1)dy=-∫x^3dx 两边不定积分得∫(dy)/y=-∫1/(x^2-4x)dx 得y^3+3y^2+3y+1=3/4x^4+c |n|y|=1/4∫(1/x-1/(x-4))dx =1/4(1n|x|-|n|x-41)+c =1/4|ln|x/(x-4)|+c 得y=c(x/(x-4))^(1/4)
解析
步骤 1：(1) xy'-ylny=0
分离变量，得到：(dy/ylny) = (dx/x)
两边积分，得到：ln|lny| = ln|x| + C
化简得到：y = e^(Cx)
步骤 2：(2) 3x^2+5x-5y'=0
分离变量，得到：dy = (3x^2+5x)/5 dx
两边积分，得到：y = 1/5x^3 + 1/2x^2 + C
步骤 3：(3) √(1-x^2)y'=√(1-y^2)
分离变量，得到：(dy/√(1-y^2)) = (dx/√(1-x^2))
两边积分，得到：arcsiny = arcsinx + C
步骤 4：(4) y'-xy'=a(y^2+y')
分离变量，得到：(dy/(y^2+y')) = (adx/(1-x-a))
两边积分，得到：y^(-1) = a|ln|x+a-1|| + C
步骤 5：(5) sec^2xtanydx+sec^2ytanxdy=0
分离变量，得到：(dy/(sec^2y)) = -(dx/(sec^2x))
两边积分，得到：tany = 1/tanx + C
步骤 6：(6) (dy)/(dx)=10^(x+y)
分离变量，得到：(dy/10^y) = 10^x dx
两边积分，得到：10^(-y) = 10^x + C
步骤 7：(7) (e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0
提取公因式，得到：e^y(e^x+1)dy = -e^x(e^y-1)dx
分离变量，得到：(dy/(e^y-1)) = -(dx/(e^x+1))
两边积分，得到：ln|e^y-1| = -ln|e^x+1| + C
化简得到：e^y-1 = 1/(e^x+1) + C
步骤 8：(8) cosxsinydx+sinxcosydy=0
分离变量，得到：(dy/siny) = -(dx/sinx)
两边积分，得到：ln|siny| = -ln|sinx| + C
化简得到：sinxsiny = C
步骤 9：(9) (y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0
分离变量，得到：(dy/(y+1)^2) = -x^3 dx
两边积分，得到：-1/(y+1) = -1/4x^4 + C
化简得到：y^3+3y^2+3y+1 = 3/4x^4 + C
步骤 10：(10) ydx+(x^2-4x)dy=0
分离变量，得到：(dy/y) = -(dx/(x^2-4x))
两边积分，得到：ln|y| = 1/4ln|x/(x-4)| + C
化简得到：y = c(x/(x-4))^(1/4)
分离变量，得到：(dy/ylny) = (dx/x)
两边积分，得到：ln|lny| = ln|x| + C
化简得到：y = e^(Cx)
步骤 2：(2) 3x^2+5x-5y'=0
分离变量，得到：dy = (3x^2+5x)/5 dx
两边积分，得到：y = 1/5x^3 + 1/2x^2 + C
步骤 3：(3) √(1-x^2)y'=√(1-y^2)
分离变量，得到：(dy/√(1-y^2)) = (dx/√(1-x^2))
两边积分，得到：arcsiny = arcsinx + C
步骤 4：(4) y'-xy'=a(y^2+y')
分离变量，得到：(dy/(y^2+y')) = (adx/(1-x-a))
两边积分，得到：y^(-1) = a|ln|x+a-1|| + C
步骤 5：(5) sec^2xtanydx+sec^2ytanxdy=0
分离变量，得到：(dy/(sec^2y)) = -(dx/(sec^2x))
两边积分，得到：tany = 1/tanx + C
步骤 6：(6) (dy)/(dx)=10^(x+y)
分离变量，得到：(dy/10^y) = 10^x dx
两边积分，得到：10^(-y) = 10^x + C
步骤 7：(7) (e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0
提取公因式，得到：e^y(e^x+1)dy = -e^x(e^y-1)dx
分离变量，得到：(dy/(e^y-1)) = -(dx/(e^x+1))
两边积分，得到：ln|e^y-1| = -ln|e^x+1| + C
化简得到：e^y-1 = 1/(e^x+1) + C
步骤 8：(8) cosxsinydx+sinxcosydy=0
分离变量，得到：(dy/siny) = -(dx/sinx)
两边积分，得到：ln|siny| = -ln|sinx| + C
化简得到：sinxsiny = C
步骤 9：(9) (y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0
分离变量，得到：(dy/(y+1)^2) = -x^3 dx
两边积分，得到：-1/(y+1) = -1/4x^4 + C
化简得到：y^3+3y^2+3y+1 = 3/4x^4 + C
步骤 10：(10) ydx+(x^2-4x)dy=0
分离变量，得到：(dy/y) = -(dx/(x^2-4x))
两边积分，得到：ln|y| = 1/4ln|x/(x-4)| + C
化简得到：y = c(x/(x-4))^(1/4)