题目

1.必答[简答题]1求积分int(7)/((7x-1)^3)dx

1.必答[简答题] 1求积分 $\int\frac{7}{(7x-1)^{3}}dx$

题目解答

答案

为了求解积分 $\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx$，我们可以使用换元法。设 $u = 7x - 1$。那么，$u$ 关于 $x$ 的导数为 $\frac{du}{dx} = 7$，或者等价地，$du = 7 \, dx$。 将 $u$ 和 $du$ 代入积分中，我们得到： \[ \int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx = \int \frac{7}{u^3} \cdot \frac{1}{7} \, du = \int \frac{1}{u^3} \, du. \] 接下来，我们需要积分 $\frac{1}{u^3}$。回想 $\frac{1}{u^3} = u^{-3}$，所以积分变为： \[ \int u^{-3} \, du. \] $u^{-3}$ 的反导数是 $\frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2}$。因此，我们有： \[ \int u^{-3} \, du = -\frac{1}{2u^2} + C, \] 其中 $C$ 是积分常数。 现在，我们将 $u = 7x - 1$ 代回表达式中： \[ -\frac{1}{2(7x-1)^2} + C. \] 因此，原积分的值为： \[ \boxed{-\frac{1}{2(7x-1)^2} + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，特别是对分式函数的积分处理能力。关键在于选择合适的中间变量进行换元，简化积分表达式。

解题核心思路：

  1. 观察分母结构：分母为$(7x-1)^3$，其导数为$7$，与分子中的$7$形成关联，提示使用换元法。
  2. 换元简化积分：令$u = 7x - 1$，将原积分转化为关于$u$的简单幂函数积分。
  3. 回代变量：积分完成后，将变量替换回原变量$x$，得到最终结果。

破题关键点：

  • 正确选择换元：选择$u = 7x - 1$，使得$du = 7dx$，与分子中的$7dx$形成匹配，简化积分表达式。
  • 幂函数积分公式：利用$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）直接计算。

步骤1：换元法设定
设中间变量$u = 7x - 1$，则其导数为$\frac{du}{dx} = 7$，即$du = 7dx$，从而$dx = \frac{du}{7}$。

步骤2：替换积分变量
将原积分中的$7dx$和$(7x-1)$替换为$u$和$du$：
$\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx = \int \frac{7}{u^3} \cdot \frac{du}{7} = \int \frac{1}{u^3} \, du.$

步骤3：计算幂函数积分
将$\frac{1}{u^3}$写成$u^{-3}$，应用幂函数积分公式：
$\int u^{-3} \, du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C.$

步骤4：回代变量
将$u = 7x - 1$代入，得到最终结果：
$-\frac{1}{2(7x-1)^2} + C.$