题目
为了求得幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({(x-2))^n}({n)^2}-|||-的收敛半径,先要计-|||-lim _(narrow infty )dfrac ({a)_(n+1)}({a)_(n)}=-|||-算极限 __ 得到收敛半径 R=_ __ ;为-|||-了进一步求得收敛域,必须再判断当 x= __-|||-时,级数的敛散性,得到级数的收敛域为-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 $\dfrac{{(x-2)}^{n}}{{n}^{2}}$，其中 ${a}_{n} = \dfrac{1}{{n}^{2}}$。
步骤 2：计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac{1}{{(n+1)}^{2}}}{\dfrac{1}{{n}^{2}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{n}^{2} + 2n + 1} = 1
\]
步骤 3：计算收敛半径 R
根据幂级数收敛半径的公式 $R = \dfrac{1}{\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$，得到 $R = 1$。
步骤 4：确定收敛域
为了确定收敛域，需要检查当 $x = 2 + R = 3$ 和 $x = 2 - R = 1$ 时，级数的敛散性。
- 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$，这是一个收敛的 p 级数（p = 2 > 1）。
- 当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}}{{n}^{2}}$，这是一个收敛的交错级数（因为 $\dfrac{1}{{n}^{2}}$ 单调递减且极限为 0）。
幂级数的一般项为 $\dfrac{{(x-2)}^{n}}{{n}^{2}}$，其中 ${a}_{n} = \dfrac{1}{{n}^{2}}$。
步骤 2：计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac{1}{{(n+1)}^{2}}}{\dfrac{1}{{n}^{2}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{n}^{2} + 2n + 1} = 1
\]
步骤 3：计算收敛半径 R
根据幂级数收敛半径的公式 $R = \dfrac{1}{\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$，得到 $R = 1$。
步骤 4：确定收敛域
为了确定收敛域，需要检查当 $x = 2 + R = 3$ 和 $x = 2 - R = 1$ 时，级数的敛散性。
- 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$，这是一个收敛的 p 级数（p = 2 > 1）。
- 当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}}{{n}^{2}}$，这是一个收敛的交错级数（因为 $\dfrac{1}{{n}^{2}}$ 单调递减且极限为 0）。