题目
函数 f(x) 在点 x_0 处的 n 阶泰勒公式的拉格朗日型余项 R_n(x)=（）A. (f^(n+1)(xi))/((n+1)!)(x-x_0)^n+1，这里 xi 介于 x_0 与 x 之间.B. (f^(n)(x_0))/(n!).C. (f^(n)(x_0))/(n!)x^n.D. (f^(n)(xi))/(n!)(x-x_0)^n，这里 xi 介于 x_0 与 x 之间.
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式的拉格朗日型余项 $R_n(x)=$（）
A. $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，这里 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间.
B. $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.
C. $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n$.
D. $\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n$，这里 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间.
题目解答
答案
A. $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，这里 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间.
解析
步骤 1：理解泰勒公式
泰勒公式是将一个函数在某点附近用多项式近似表示的方法。对于函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式，可以表示为：\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x), \] 其中 $R_n(x)$ 是泰勒公式的余项，表示近似误差。
步骤 2：理解拉格朗日型余项
拉格朗日型余项是泰勒公式余项的一种形式，它给出了近似误差的具体表达式。对于函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式的拉格朗日型余项，可以表示为：\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}, \] 其中 $\xi$ 是 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个值。
步骤 3：选择正确答案
根据拉格朗日型余项的定义，我们可以看出选项 A 正确地表示了函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式的拉格朗日型余项。其他选项要么没有正确表示余项，要么没有正确表示余项的阶数。
泰勒公式是将一个函数在某点附近用多项式近似表示的方法。对于函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式，可以表示为：\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x), \] 其中 $R_n(x)$ 是泰勒公式的余项，表示近似误差。
步骤 2：理解拉格朗日型余项
拉格朗日型余项是泰勒公式余项的一种形式，它给出了近似误差的具体表达式。对于函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式的拉格朗日型余项，可以表示为：\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}, \] 其中 $\xi$ 是 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个值。
步骤 3：选择正确答案
根据拉格朗日型余项的定义，我们可以看出选项 A 正确地表示了函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒公式的拉格朗日型余项。其他选项要么没有正确表示余项，要么没有正确表示余项的阶数。