题目
试确定函数f(z)=f(x+iy)=(x^2y+ixyy^2)/(x^3-iy^3)在复平面上的连续区域
试确定函数
在复平面上的连续区域
题目解答
答案
令分母
，得
。当z=x+iy时，解得z=0。因此f(z)除z=0外处处连续
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(z)=\dfrac {{x}^{2}y+ix{y}^{2}}{{x}^{3}-i{y}^{3}}$的定义域是分母不为零的复数z。因此，我们需要找到分母${x}^{3}-i{y}^{3}=0$的解。
步骤 2：解分母为零的方程
令${x}^{3}-i{y}^{3}=0$，则有${x}^{3}=i{y}^{3}$。由于$i=\sqrt{-1}$，我们可以将方程写为${x}^{3}=-{y}^{3}$。这意味着$x^{3}+y^{3}=0$。根据立方和公式，我们有$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$。因此，$x=-y$或$x^2-xy+y^2=0$。对于$x^2-xy+y^2=0$，我们可以通过判别式$D=b^2-4ac$来判断是否有实数解。这里，$a=1$，$b=-1$，$c=1$，所以$D=(-1)^2-4(1)(1)=-3$，这意味着$x^2-xy+y^2=0$没有实数解。因此，只有$x=-y$是方程的解。
步骤 3：确定函数的连续区域
由于$x=-y$是方程${x}^{3}-i{y}^{3}=0$的唯一解，这意味着当$x=-y$时，分母为零，函数$f(z)$在这些点上没有定义。因此，函数$f(z)$在复平面上除了$x=-y$的点外处处连续。
函数$f(z)=\dfrac {{x}^{2}y+ix{y}^{2}}{{x}^{3}-i{y}^{3}}$的定义域是分母不为零的复数z。因此，我们需要找到分母${x}^{3}-i{y}^{3}=0$的解。
步骤 2：解分母为零的方程
令${x}^{3}-i{y}^{3}=0$，则有${x}^{3}=i{y}^{3}$。由于$i=\sqrt{-1}$，我们可以将方程写为${x}^{3}=-{y}^{3}$。这意味着$x^{3}+y^{3}=0$。根据立方和公式，我们有$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$。因此，$x=-y$或$x^2-xy+y^2=0$。对于$x^2-xy+y^2=0$，我们可以通过判别式$D=b^2-4ac$来判断是否有实数解。这里，$a=1$，$b=-1$，$c=1$，所以$D=(-1)^2-4(1)(1)=-3$，这意味着$x^2-xy+y^2=0$没有实数解。因此，只有$x=-y$是方程的解。
步骤 3：确定函数的连续区域
由于$x=-y$是方程${x}^{3}-i{y}^{3}=0$的唯一解，这意味着当$x=-y$时，分母为零，函数$f(z)$在这些点上没有定义。因此，函数$f(z)$在复平面上除了$x=-y$的点外处处连续。