题目
例4.14 将函数 (z)=dfrac (sin hz)({z)^2} 在 lt |z|lt +infty 内展开为洛朗级数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将 $\sin hz$ 展开为幂级数
$\sin hz$ 的幂级数展开式为：
$$\sin hz = \frac{e^z - e^{-z}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-z)^n}{n!} \right)$$
步骤 2：化简 $\sin hz$ 的幂级数展开式
将上述幂级数展开式化简，得到：
$$\sin hz = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
步骤 3：将 $\sin hz$ 的幂级数展开式代入 $f(z)$
将 $\sin hz$ 的幂级数展开式代入 $f(z)$，得到：
$$f(z) = \frac{\sin hz}{z^2} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!}$$
步骤 4：将 $f(z)$ 的洛朗级数展开式写成标准形式
将 $f(z)$ 的洛朗级数展开式写成标准形式，得到：
$$f(z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!}$$
$\sin hz$ 的幂级数展开式为：
$$\sin hz = \frac{e^z - e^{-z}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-z)^n}{n!} \right)$$
步骤 2：化简 $\sin hz$ 的幂级数展开式
将上述幂级数展开式化简，得到：
$$\sin hz = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
步骤 3：将 $\sin hz$ 的幂级数展开式代入 $f(z)$
将 $\sin hz$ 的幂级数展开式代入 $f(z)$，得到：
$$f(z) = \frac{\sin hz}{z^2} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!}$$
步骤 4：将 $f(z)$ 的洛朗级数展开式写成标准形式
将 $f(z)$ 的洛朗级数展开式写成标准形式，得到：
$$f(z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!}$$