iint_(Sigma) y(x-z), dy , dz + x^2 , dz , dx + (y^2 + xz), dx , dy，其中Sigma是正方0 leq x leq a, 0 leq y leq a, 0 leq z leq a的整个表面的外侧.A. 0B. 3a^4C. a^3D. a^4

本题考查高斯公式的应用。解题思路是利用高斯公式将对坐标的曲面积分转化为三重积分，然后通过计算三重积分得出结果。

已知$\iint_{\Sigma} y(x - z)dydz + x^2dzdx + (y^2 + xz)dxdy$，其中$\Sigma$是正方体$0\leq x\leq a, 0\leq y\leq a, 0\leq z\leq a$的整个表面的外侧。
根据高斯公式$\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\underset{\varSigma }{∯}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$，这里$P = y(x - z)$，$Q = x^2$，$R = y^2 + xz$。

1. 先求$\frac{\partial P}{\partial x}$，$\frac{\partial Q}{\partial y}$，$\frac{\partial R}{\partial z}$：
   • 对$P = y(x - z)$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = y$（看作常数），$v = x - z$，则$\frac{\partial P}{\partial x}=y$。
   • 对$Q = x^2$关于$y$求偏导数，因为$x^2$中不含$y$，所以$\frac{\partial Q}{\partial y}=0$。
   • 对$R = y^2 + xz$关于$z$求偏导数，$y^2$中不含$z$，$xz$关于$z$求导为$x$，所以$\frac{\partial R}{\partial z}=x$。
2. 则$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=y + 0 + x = x + y$。
3. 那么原曲面积分就转化为三重积分$\underset{\varOmega }{\iiint }(x + y)dv$，其中$\varOmega$是由$0\leq x\leq a, 0\leq y\leq a, 0\leq z\leq a$所确定的正方体区域。
4. 计算三重积分$\underset{\varOmega }{\iiint }(x + y)dv$：
   • 根据三重积分的计算方法$\underset{\varOmega }{\iiint }(x + y)dv=\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{a}(x + y)dz$。
   • 先对$z$积分：
     $\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{a}(x + y)dz=\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}(x + y)[z]_{0}^{a}dy=\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}a(x + y)dy$。
   • 再对$y$积分：
     $\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}a(x + y)dy=\int_{0}^{a}a\left[xy+\frac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{a}dx=\int_{0}^{a}a\left(ax+\frac{1}{2}a^{2}\right)dx$。
   • 最后对$x$积分：
     $\int_{0}^{a}a\left(ax+\frac{1}{2}a^{2}\right)dx=a\left[\frac{1}{2}ax^{2}+\frac{1}{2}a^{2}x\right]_{0}^{a}=a\left(\frac{1}{2}a\cdot a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}\cdot a\right)=a^{4}$。