(2) lim _(xarrow 0)dfrac ({(1-dfrac {1)(2)(x)^2)}^dfrac (2{3)}-1}(xln (1+x))

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和泰勒展开的应用，要求在处理复杂分式极限时，能够灵活运用近似展开简化计算。

解题核心思路：

1. 分母处理：当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，因此分母$x \ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2$。
2. 分子处理：将$(1 - \frac{1}{2}x^2)^{\frac{2}{3}}$展开为泰勒多项式，保留到二次项，再减去1，得到分子的近似表达式。
3. 化简求极限：将分子和分母的近似表达式代入原式，约分后得到极限值。

破题关键点：

• 正确选择展开阶数：分子中的幂函数展开到二次项即可，分母直接用一次等价无穷小替换。
• 符号与系数计算：注意展开过程中系数的符号和运算准确性。

步骤1：处理分母
当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，因此分母可近似为：
$x \ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2.$

步骤2：处理分子
将$(1 - \frac{1}{2}x^2)^{\frac{2}{3}}$展开为泰勒多项式。设$a = -\frac{1}{2}x^2$，则：
$(1 + a)^{\frac{2}{3}} \approx 1 + \frac{2}{3}a + \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3} - 1\right)}{2}a^2 + \cdots.$
保留到二次项，得：
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{2}x^2)^{\frac{2}{3}} &\approx 1 + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2\right)^2 \\&= 1 - \frac{1}{3}x^2 + \text{高阶小项}.\end{aligned}$
因此，分子为：
$(1 - \frac{1}{2}x^2)^{\frac{2}{3}} - 1 \approx -\frac{1}{3}x^2.$

步骤3：代入原式并化简
将分子和分母的近似表达式代入原式：
$\frac{-\frac{1}{3}x^2}{x^2} = -\frac{1}{3}.$
因此，原式的极限为$-\frac{1}{3}$。