题目

微分方程''-y'-2y=0的特征方程是(). ''-y'-2y=0

微分方程 $y' '-y'-2 y=0$ 的特征方程是().

$\begin{aligned} &A. \lambda ^2- \lambda -2=0 \\ &B. \lambda ^2- \lambda+ 2=0 \\ &C. \lambda ^2+ \lambda -2=0 \\ &D. \lambda ^2+ \lambda+ 2=0\\ \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned}&二阶常系数非齐次微分方程解法(f(x)=P_{m}(x)e^{ax}型,\\&其中P_{m}(x)是m次多项式):\\ &二阶常系数非齐次微分方程的通解=\\ &齐次方程通解+非齐次方程的特解\\ &二阶常系数齐次线性微分方程：y^{''}+py^{'}+qy=0\\ &其对应的特征方程为\lambda^{2}+p\lambda+q=0\\ &特征根有如下三种情况：\\ &\begin{cases} \Delta>0:\lambda_{1}，\lambda_{2}均为实数，且\lambda_{1}\neq\lambda_{2}，\\ 则通解为y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}\\ \Delta=0:\lambda_{1}，\lambda_{2}均为实数，且\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda，\\ 则通解为y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda x}\\ \Delta<0:\lambda_{1}，\lambda_{2}为一共轭复根\alpha \pm \beta \mathbf{i}，\\ 则通解为y=[C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x)]e^{\alpha x} \end{cases}\\ &二阶常系数非齐次微分方程的特解(f(x)=P_{m}(x)e^{ax}型,\\ &其中P_{m}(x)是m次多项式)：\\ &即:y^{''}+py^{'}+qy=P_{m}(x)e^{ax}\\ &其特解形式为：y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{ax}\\ &其中Q_{m}(x)是一个待求解的m次多项式，\\ &\begin{cases} \alpha 不是特征方程\lambda^{2}+p\lambda+q=0的根，则k=0\\ \alpha 是特征方程\lambda^{2}+p\lambda+q=0的单根，则k=1\\ \alpha 是特征方程\lambda^{2}+p\lambda+q=0的重根，则k=2\\ \end{cases}\\ \end{aligned}$ $\begin{aligned}&首先写出特征方程{\mathrm{\lambda}}^2 - \mathrm{\lambda} - 2=0,\\ &求特征根：\lambda_1=2,\lambda_2=-1\\ &\Delta>0,所以齐次通解为y_1=C_{1}\, \mathrm{e}^{2\, x} + C_{2}\, \mathrm{e}^{- x}\\ &因为\alpha 不是特征根所以设非齐次特解为：y^*=A\\ &y^{*'}=0\\ &y^{*''}=0\\ &所以y^{*''} - y^{*'} - 2\, y^{*}= - 2\, A=0\\ &即- 2\, A=0\\ &因此A=0,\\ &因此非齐次特解y^*=0\\ &非齐次通解y=y_1+y^*=C_{1}\, \mathrm{e}^{2\, x} + C_{2}\, \mathrm{e}^{- x}\\ \end{aligned}$

因此选A