设 sum_(n=1)^inftyu_n 与 sum_(n=1)^inftyv_n 都是正项级数，且 u_nle v_n (n=1,2,...)，则下述命题正确的是( )A. 若 sum_(n=1)^inftyu_n 收敛，则 sum_(n=1)^inftyv_n 收敛B. 若 sum_(n=1)^inftyu_n 发散，则 sum_(n=1)^inftyv_n 收敛C. 若 sum_(n=1)^inftyv_n 发散，则 sum_(n=1)^inftyu_n 发散D. 若 sum_(n=1)^inftyv_n 收敛，则 sum_(n=1)^inftyu_n 收敛

本题考查正项级数的比较判别法。解题思路是根据正项级数比较判别法的原理，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$u_n\leq v_n\ (n = 1,2,\cdots)$，若$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，不能得出$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$收敛。
例如，取$u_n=\frac{1}{n^2}$，$v_n=\frac{1}{n}$，显然$u_n\leq v_n$。
根据$p -$级数的敛散性，$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，其中$p = 2>1$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛；而$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，其中$p = 1$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。
因此，选项A错误。

选项B

若$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$发散，同样不能得出$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$收敛。
因为$u_n\leq v_n$，当$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$发散时，$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$可能发散。
例如，取$u_n=\frac{1}{n}$，$v_n=\frac{1}{n - 0.5}$（$n\geq2$），$u_n\leq v_n$，$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，$\sum_{n = 2}^{\infty}v_n=\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n - 0.5}$也发散。
所以，选项B错误。

选项C

若$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$发散，不能得出$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$发散。
例如，取$u_n=\frac{1}{n^2}$，$v_n=\frac{1}{n}$，$u_n\leq v_n$，$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，而$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛。
故选项C错误。

选项D

根据正项级数的比较判别法：设$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$都是正项级数，且$u_n\leq v_n\ (n = 1,2,\cdots)$，若$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$收敛，则$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛。
证明如下：
设$S_n=\sum_{k = 1}^{n}u_k$，$T_n=\sum_{k = 1}^{n}v_k$，因为$u_n\leq v_n$，所以$S_n=\sum_{k = 1}^{n}u_k\leq\sum_{k = 1}^{n}v_k=T_n$。
又因为$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n$收敛，即$\lim_{n\rightarrow\infty}T_n=T$（$T$为有限常数），那么$\{S_n\}$是单调递增且有上界$T$的数列。
根据单调有界准则，单调递增且有上界的数列必有极限，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$存在，即$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛。
因此，选项D正确。