设函数 f(x)= x(e^2x - 1)，g(x)= 1 - cos(2x)，则当 x to 0 时，f(x) 是 g(x) 的(）。A. 等价无穷小B. 同阶但非等价无穷小C. 高阶无穷小D. 低价无穷小

考查要点：本题主要考查等价无穷小的替换以及无穷小阶的比较，需要掌握常见函数在$x \to 0$时的泰勒展开或等价无穷小形式。

解题核心思路：

1. 等价无穷小替换：将$f(x)$和$g(x)$中的非线性项用等价无穷小表达式替换，简化计算。
2. 阶数比较：通过计算$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$的极限值判断两者的阶数关系。若极限为常数且非零，则为同阶无穷小；若极限为1，则为等价无穷小。

破题关键点：

• 替换规则：$e^{2x} - 1 \sim 2x$，$1 - \cos(2x) \sim 2x^2$。
• 极限计算：通过替换或洛必达法则验证极限值是否为1。

步骤1：等价无穷小替换

• 当$x \to 0$时，$e^{2x} - 1 \sim 2x$，因此$f(x) = x(e^{2x} - 1) \sim x \cdot 2x = 2x^2$。
• 当$x \to 0$时，$1 - \cos(2x) \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$，因此$g(x) \sim 2x^2$。

步骤2：计算极限比值
将替换后的表达式代入比值：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2x^2} = 1.$

结论：
由于极限值为1，说明$f(x)$与$g(x)$在$x \to 0$时为等价无穷小。