题目

请证明：若一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大数减小数）能被11整除，则这个数能被11整除。以五位数为例，并说明证明过程中运用了哪些思想方法？（提示：1001=91×11）

请证明：若一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大数减小数）能被11整除，则这个数能被11整除。以五位数为例，并说明证明过程中运用了哪些思想方法？（提示：1001=91×11）

题目解答

答案

证明：
第一步，设五位数的奇数位数字之和为x，偶数位数字之和为y。x=a+c+e，y=b+d
第二步，根据题意，有x−y能被11整除。
第三步，根据整数的位值原理，五位数可以表示为10000a+1000b+100c+10d+e。
第四步，根据提示，我们知道1001=91×11，因此1001能被11整除。
第五步，将五位数 进行拆分和重组，得到：
10000a+1000b+100c+10d+e
=9999a+1001b+99c+11d+a-b+c−d+e
=11(909a+91b+9c+d)+[(a+c+e)-(b+d)]
=11M+(x−y)，其中M为整数。
第六步，由于x−y能被11整除，根据整数的整除性质，11M+(x−y)也能被11整除。
综上，我们证明了若一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大数减小数）能被11整除，则这个数能被11整除。
在证明过程中，我们主要运用了整数的位值原理、整数的整除性质以及代数式的拆分和重组等思想方法。

解析

步骤 1：设五位数的奇数位数字之和为x，偶数位数字之和为y。
- 假设五位数为abcde，其中a、c、e为奇数位数字，b、d为偶数位数字。
- 则x=a+c+e，y=b+d。

步骤 2：根据题意，有x−y能被11整除。
- 即x−y=11k，其中k为整数。

步骤 3：根据整数的位值原理，五位数可以表示为10000a+1000b+100c+10d+e。
- 五位数的数值表示为：10000a+1000b+100c+10d+e。

步骤 4：根据提示，我们知道1001=91×11，因此1001能被11整除。
- 1001=91×11，1001能被11整除。

步骤 5：将五位数进行拆分和重组，得到：
- 10000a+1000b+100c+10d+e =9999a+1001b+99c+11d+a-b+c−d+e
- =11(909a+91b+9c+d)+[(a+c+e)-(b+d)]
- =11M+(x−y)，其中M为整数。

步骤 6：由于x−y能被11整除，根据整数的整除性质，11M+(x−y)也能被11整除。
- 11M+(x−y)能被11整除，因此五位数能被11整除。