求 f(x) = (x)/(x), varphi(x) = (|x|)/(x) 当 x to 0 时的左、右极限，并说明它们在 x to 0 时的极限是否存在。
求 $f(x) = \frac{x}{x}$, $\varphi(x) = \frac{|x|}{x}$ 当 $x \to 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \to 0$ 时的极限是否存在。
题目解答
答案
我们来分析两个函数 $ f(x) = \frac{x}{x} $ 和 $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时的左极限、右极限，并判断它们的极限是否存在。
一、函数 $ f(x) = \frac{x}{x} $
这个函数在 $ x \ne 0 $ 时恒等于 1，因为在 $ x \ne 0 $ 的情况下，分子和分母相同，可以约掉：
$f(x) = \frac{x}{x} = 1 \quad \text{当 } x \ne 0$
左极限（$ x \to 0^- $）：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$
右极限（$ x \to 0^+ $）：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$
左右极限相等，因此：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
二、函数 $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $
我们先分析这个函数的表达式：
-
当 $ x > 0 $ 时，$ |x| = x $，所以：
$\varphi(x) = \frac{x}{x} = 1$ -
当 $ x < 0 $ 时，$ |x| = -x $，所以：
$\varphi(x) = \frac{-x}{x} = -1$
左极限（$ x \to 0^- $）：
$\lim_{x \to 0^-} \varphi(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$
右极限（$ x \to 0^+ $）：
$\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$
左右极限不相等，因此：
$\lim_{x \to 0} \varphi(x) \text{ 不存在}$
总结：
| 函数 | 左极限 | 右极限 | 极限是否存在 |
|---|---|---|---|
| $ f(x) = \frac{x}{x} $ | 1 | 1 | 存在，等于 1 |
| $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $ | -1 | 1 | 不存在 |
答案：
- $ f(x) = \frac{x}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时的极限存在，且为 $ \boxed{1} $。
- $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时的极限不存在。
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左右极限计算，以及判断极限是否存在。关键在于理解函数在不同趋近方向下的表达式变化。
解题思路：
- 化简函数表达式：对于$f(x)=\frac{x}{x}$，需注意$x \neq 0$时可约简为常数函数；而$\varphi(x)=\frac{|x|}{x}$需根据$x$的正负分情况讨论。
- 分方向计算极限：分别计算$x \to 0^-$（左极限）和$x \to 0^+$（右极限）。
- 判断极限存在性：若左右极限相等，则极限存在；否则不存在。
破题关键：
- 化简$f(x)$时注意定义域限制，避免误认为$x=0$处有定义。
- 绝对值函数的分段处理是$\varphi(x)$的核心，需明确$x>0$和$x<0$时的不同表达式。
函数$f(x) = \frac{x}{x}$
化简表达式
当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{x}{x} = 1$，因此函数在$x \neq 0$时恒等于1。
计算左极限
当$x \to 0^-$时，$x$接近0但始终为负数，此时$f(x) = 1$，故：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$
计算右极限
当$x \to 0^+$时，$x$接近0但始终为正数，此时$f(x) = 1$，故：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
判断极限存在性
左右极限相等，因此：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
函数$\varphi(x) = \frac{|x|}{x}$
分段讨论表达式
- 当$x > 0$时，$|x| = x$，故$\varphi(x) = \frac{x}{x} = 1$。
- 当$x < 0$时，$|x| = -x$，故$\varphi(x) = \frac{-x}{x} = -1$。
计算左极限
当$x \to 0^-$时，$x$为负数，$\varphi(x) = -1$，故：
$\lim_{x \to 0^-} \varphi(x) = -1$
计算右极限
当$x \to 0^+$时，$x$为正数，$\varphi(x) = 1$，故：
$\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 1$
判断极限存在性
左右极限不相等，因此：
$\lim_{x \to 0} \varphi(x) \text{ 不存在}$