求极限lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+n+1}+dfrac (2)({n)^2+n+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n+n})=_____.

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理求和形式的极限问题。

解题核心思路：

1. 观察到分母中的$n^2$是主导项，但直接忽略低次项可能不够精确，因此考虑夹逼定理。
2. 对每个分母$n^2 + n + i$进行上下界估计，从而将原求和式夹在两个更简单的表达式之间。
3. 分别计算上下界的极限，若两者相等，则原极限值为此公共值。

破题关键点：

• 分母的上下界分析：当$i$从$1$到$n$时，分母的最小值为$n^2 + n + 1$，最大值为$n^2 + 2n$。
• 求和式的上下界构造：通过分母的上下界，将原求和式转化为两个更易处理的和式。
• 极限计算：利用等差数列求和公式和多项式展开，化简上下界的表达式，最终得到共同的极限值$\frac{1}{2}$。

步骤1：构造分母的上下界

对于每一项$\dfrac{i}{n^2 + n + i}$，当$i$从$1$到$n$时：

• 分母下界：$n^2 + n + i \geq n^2 + n + 1$
• 分母上界：$n^2 + n + i \leq n^2 + n + n = n^2 + 2n$

因此，原式可夹逼为：
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + 2n} \leq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + n + i} \leq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + n + 1}$

步骤2：计算上下界的极限

下界分析

下界和式为：
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + 2n} = \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + 2n} = \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n}$
化简分子分母：
$= \dfrac{n(n+1)/2}{n(n + 2)} = \dfrac{n+1}{2(n + 2)} \xrightarrow{n \to \infty} \dfrac{1}{2}$

上界分析

上界和式为：
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + n + 1} = \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1}$
化简分子分母：
$= \dfrac{n(n+1)/2}{n^2 + n + 1} \xrightarrow{n \to \infty} \dfrac{n^2/2}{n^2} = \dfrac{1}{2}$

步骤3：应用夹逼定理

由于上下界的极限均为$\dfrac{1}{2}$，根据夹逼定理，原极限值为：
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{n^2 + n + i} = \dfrac{1}{2}$