题目

2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少?(Phi(2.5)=0.9938).

2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少?($\Phi(2.5)=0.9938$).

题目解答

答案

设短于3米的木柱数为 $ X $，则 $ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.2) $。期望值 $ E(X) = np = 20 $，方差 $ D(X) = np(1-p) = 16 $。 由正态近似，标准化变量 $ Z = \frac{X - 20}{4} $ 近似服从标准正态分布。 求 $ P(X \geq 30) $： \[ P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062. \] **答案：** $\boxed{0.0062}$

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似及其应用，涉及概率计算、标准化处理以及标准正态分布函数的使用。

解题核心思路：

  1. 识别分布类型：题目中“随机抽取”且“有放回”（隐含条件），短于3米的木柱数服从二项分布。
  2. 判断正态近似条件：当样本量$n$较大且$np$、$n(1-p)$均足够大时，可用正态分布近似二项分布。
  3. 标准化与查表：将二项分布标准化为标准正态分布，利用给定的$\Phi(2.5)$值直接计算概率。

破题关键点：

  • 正确确定参数：短于3米的概率$p=0.2$，样本量$n=100$。
  • 避免连续性修正：题目未要求修正，直接按离散点计算。

设短于3米的木柱数为$X$，则$X$服从二项分布$B(100, 0.2)$。

  1. 计算期望与方差：

    • 期望：$E(X) = np = 100 \times 0.2 = 20$
    • 方差：$D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$
    • 标准差：$\sigma = \sqrt{16} = 4$

  2. 正态近似标准化：
    标准化变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 20}{4}$，近似服从标准正态分布。

  3. 计算概率：
    $P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P(Z \geq 2.5)$
    根据$\Phi(2.5) = 0.9938$，得：
    $P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$