题目

1.求极限lim_(xto0)(sinln(1+x)-ln(1+sin x))/((sqrt(1+x^2))-1)tan x.

1.求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin\ln(1+x)-\ln(1+\sin x)}{\left(\sqrt{1+x^{2}}-1\right)\tan x}.$

题目解答

答案

将分子和分母分别展开为泰勒级数。
分子：
$\sin \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + O(x^5),$
$\ln(1+\sin x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{15} + O(x^6).$
相减得：
$\sin \ln(1+x) - \ln(1+\sin x) = -\frac{x^5}{60} + O(x^6).$
分母：
$(\sqrt{1+x^2} - 1) \tan x = \left( \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) \left( x + O(x^3) \right) = \frac{x^3}{2} + O(x^5).$
极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^5}{60} + O(x^6)}{\frac{x^3}{2} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^2}{30} \right) = 0.$
答案： $\boxed{0}$

解析

本题考查极限的计算，解题思路是将分子和分母分别展开展开为泰勒级数，然后计算极限。

分子展开

对于$\sin \ln(1+x)$，根据泰勒级数展开公式$\sin t=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}-\frac{t^4}{12}+O(t^5)$，$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}-\frac{t^4}{12}+O(t^5)$，可得$\sin \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + O(x^5)$。
对于$\ln(1+\sin x)$，同样根据泰勒级数展开公式可得$\ln(1+\sin x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{15} + O(x^6)$。
相减得：$\sin \ln(1+x) - \ln(1+\sin x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + O(x^5)) - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{15} + O(x^6)) = -\frac{x^5}{60} + O(x^6)$。

分母

对于$\sqrt{1+x^2}-1$，根据泰勒级数展开公式$\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+O(t^3)$，可得$\sqrt{1+x^2}-1 = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。
对于$\tan x$，根据泰勒级数展开公式\ thinking thinking budget is 0, so I will directly start answering the question. ，可得$\tan x = x + O(x^3)$。
相乘得：$(\sqrt{1+x^2} - 1) \tan x = \left( \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) \left( x + O(x^3) \right) = \frac{x^3}{}{2}{2} + O(x^5)$。

极限计算

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^5}{60} + O(x^6)}{\frac{x^3}{2} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^2}{30} \right) = 0$。