题目
进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为-|||-=1-p(0lt plt 1).-|||-(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表-|||-示所需的试验次数,求X的分布律.(此时称X服-|||-从以p为参数的几何分布.)-|||-(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分-|||-布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布或负二项分布.)-|||-(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投-|||-篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的分布律
根据题意，X表示首次成功所需的试验次数。由于每次试验是独立的，且成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，因此X的分布律为几何分布。对于k次试验首次成功，前k-1次试验均失败，最后一次成功，因此分布律为$P\{ X=k\} ={q}^{k-1}p={(1-p)}^{k-1}p$，k=1,2,3,...
步骤 2：求Y的分布律
Y表示首次出现r次成功所需的试验次数。由于每次试验是独立的，且成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，因此Y的分布律为巴斯卡分布。对于k次试验首次出现r次成功，前k-1次试验中有r-1次成功，最后一次成功，因此分布律为$P\{ Y=k\} =\binom{k-1}{r-1}p^r q^{k-r}={(k-1)! \over (r-1)!(k-r)!}p^r{(1-p)}^{k-r}$，k=r,r+1,...
步骤 3：求X取偶数的概率
根据题意，X表示首次投中时累计已投篮的次数，且投篮命中率为45%，即p=0.45，q=0.55。X的分布律为$P\{ X=k\} =0.45{(0.55)}^{k-1}$，k=1,2,...。X取偶数的概率为$\sum _{i=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2i-1}$，即$\sum _{i=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2i-1}=\dfrac {0.45\times 0.55}{1-{0.55}^{2}}=\dfrac {11}{31}$。
根据题意，X表示首次成功所需的试验次数。由于每次试验是独立的，且成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，因此X的分布律为几何分布。对于k次试验首次成功，前k-1次试验均失败，最后一次成功，因此分布律为$P\{ X=k\} ={q}^{k-1}p={(1-p)}^{k-1}p$，k=1,2,3,...
步骤 2：求Y的分布律
Y表示首次出现r次成功所需的试验次数。由于每次试验是独立的，且成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，因此Y的分布律为巴斯卡分布。对于k次试验首次出现r次成功，前k-1次试验中有r-1次成功，最后一次成功，因此分布律为$P\{ Y=k\} =\binom{k-1}{r-1}p^r q^{k-r}={(k-1)! \over (r-1)!(k-r)!}p^r{(1-p)}^{k-r}$，k=r,r+1,...
步骤 3：求X取偶数的概率
根据题意，X表示首次投中时累计已投篮的次数，且投篮命中率为45%，即p=0.45，q=0.55。X的分布律为$P\{ X=k\} =0.45{(0.55)}^{k-1}$，k=1,2,...。X取偶数的概率为$\sum _{i=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2i-1}$，即$\sum _{i=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2i-1}=\dfrac {0.45\times 0.55}{1-{0.55}^{2}}=\dfrac {11}{31}$。