题目
2.计算定积分int_(0)^1ln(1+sqrt(x))dx.
2.计算定积分$\int_{0}^{1}\ln(1+\sqrt{x})dx$.
题目解答
答案
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。积分变为
\[
\int_{0}^{1} \ln(1+\sqrt{x}) \, dx = 2 \int_{0}^{1} t \ln(1+t) \, dt.
\]
分部积分，设 $u = \ln(1+t)$，$dv = t \, dt$，则
\[
\int t \ln(1+t) \, dt = \frac{t^2}{2} \ln(1+t) - \int \frac{t^2}{2(1+t)} \, dt.
\]
化简被积函数：
\[
\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t},
\]
得
\[
\int \frac{t^2}{2(1+t)} \, dt = \frac{1}{2} \left( \frac{t^2}{2} - t + \ln(1+t) \right).
\]
代入上下限计算得
\[
\int_{0}^{1} t \ln(1+t) \, dt = \frac{1}{4},
\]
故原积分值为
\[
2 \times \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{2}}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及变量替换法和分部积分法的应用，以及分式化简的能力。
解题核心思路：
- 变量替换：通过令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为更易处理的形式。
- 分部积分：对转化后的积分应用分部积分法，选择适当的$u$和$dv$，简化被积函数。
- 分式化简：将复杂分式$\frac{t^2}{1+t}$分解为多项式与简单分式的组合，便于积分。
- 代入上下限：注意积分上下限的变化，并准确计算定积分的值。
破题关键点：
- 变量替换的选择是关键，需确保替换后积分简化。
- 分部积分中正确选择$u$和$dv$，避免循环计算。
- 分式化简需准确分解，确保积分过程无误。
变量替换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。积分上下限变为$t=0$到$t=1$，原积分转化为：
$\int_{0}^{1} \ln(1+\sqrt{x}) \, dx = 2 \int_{0}^{1} t \ln(1+t) \, dt.$
分部积分
设$u = \ln(1+t)$，$dv = t \, dt$，则$du = \frac{1}{1+t} dt$，$v = \frac{1}{2}t^2$。根据分部积分公式：
$\int t \ln(1+t) \, dt = \frac{1}{2}t^2 \ln(1+t) - \int \frac{1}{2}t^2 \cdot \frac{1}{1+t} dt.$
分式化简
将$\frac{t^2}{1+t}$分解为：
$\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}.$
积分计算
代入化简后的表达式：
$\int \frac{t^2}{2(1+t)} \, dt = \frac{1}{2} \int \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt = \frac{1}{2} \left( \frac{t^2}{2} - t + \ln(1+t) \right).$
代入上下限
计算定积分$\int_{0}^{1} t \ln(1+t) \, dt$：
- 分部积分第一部分：
$\left. \frac{1}{2}t^2 \ln(1+t) \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1)^2 \ln 2 - \frac{1}{2}(0)^2 \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2.$ - 分部积分第二部分：
$\frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln(1+t) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 \right).$ - 合并结果：
$\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 \right) = \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{4}.$
最终结果
原积分值为：
$2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.$