9.设函数f(x)=lim_(ntoinfty)(1+x)/(1+x^2n)，求f(x)的间断点并判断其类型.

考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解、分段点处的连续性判断以及间断点类型的判定。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：根据$x$的不同取值范围（$|x|<1$、$|x|=1$、$|x|>1$），分析$x^{2n}$的极限，从而确定$f(x)$的表达式。
2. 构造分段函数：将不同区间内的表达式整合，明确分界点。
3. 判断间断点：通过计算分界点处的左、右极限与函数值，判断是否存在间断点及其类型。

破题关键点：

• 关键结论：当$|x|<1$时$x^{2n} \to 0$，当$|x|>1$时$x^{2n} \to +\infty$，当$|x|=1$时需单独分析$x=1$和$x=-1$。
• 关键方法：分段讨论后，通过极限比较分界点处的连续性。

分情况讨论$x$的取值范围

当$|x| < 1$时

此时$x^{2n} \to 0$，分母$1+x^{2n} \to 1$，分子$1+x$保持不变，故：
$f(x) = \frac{1+x}{1+0} = 1+x.$

当$|x| = 1$时

• $x=1$：$x^{2n}=1^{2n}=1$，分母$1+1=2$，分子$1+1=2$，故$f(1)=\frac{2}{2}=1$。
• $x=-1$：$x^{2n}=(-1)^{2n}=1$，分母$1+1=2$，分子$1+(-1)=0$，故$f(-1)=\frac{0}{2}=0$。

当$|x| > 1$时

此时$x^{2n} \to +\infty$，分母$1+x^{2n} \to +\infty$，分子$1+x$为有限值，故：
$f(x) = \frac{1+x}{+\infty} = 0.$

构造分段函数

综合上述分析，函数$f(x)$可表示为：
$f(x) = \begin{cases} 1+x & -1 < x < 1, \\1 & x = 1, \\0 & x \leq -1 \text{ 或 } x > 1.\end{cases}$

判断间断点

在$x=1$处

• 左极限：当$x \to 1^-$时，$f(x)=1+x \to 1+1=2$。
• 右极限：当$x \to 1^+$时，$f(x)=0 \to 0$。
• 函数值：$f(1)=1$。
  由于左极限（2）≠ 右极限（0），且函数值不等于任意一侧极限，故$x=1$为第一类跳跃间断点。

在$x=-1$处

• 左极限：当$x \to -1^-$时，$f(x)=0 \to 0$。
• 右极限：当$x \to -1^+$时，$f(x)=1+x \to 1+(-1)=0$。
• 函数值：$f(-1)=0$。
  左、右极限与函数值均相等，故$x=-1$处连续。