函数f（x）＝（x－x3）/sinπx的可去间断点的个数为（）。A. 1B. 2C. 3D. 无穷多个

考查要点：本题主要考查函数间断点类型的判断，特别是可去间断点的判定条件。需要结合分母为零的点，分析分子是否也为零，并进一步计算极限是否存在。

解题核心思路：

1. 确定间断点位置：分母$\sin \pi x = 0$的解为$x = n$（$n$为整数）。
2. 筛选可能的可去间断点：当分子$x - x^3$在$x = n$处也为零时，可能存在极限。
3. 计算极限：对满足条件的$x = n$，通过泰勒展开或等价无穷小替换计算极限，判断是否为可去间断点。

破题关键点：

• 分子为零的条件：解方程$x - x^3 = 0$，得到$x = 0, \pm 1$。
• 极限计算技巧：利用$\sin \pi x \approx \pi(x - n)$展开，结合分子展开化简表达式。

步骤1：确定间断点位置

函数$f(x) = \dfrac{x - x^3}{\sin \pi x}$的分母$\sin \pi x = 0$时无定义，解得$x = n$（$n$为整数）。

步骤2：筛选可能的可去间断点

当$x = n$时，若分子$x - x^3 = 0$，则可能存在极限。解方程：
$x - x^3 = x(1 - x^2) = 0 \implies x = 0, \pm 1.$
因此，可能的可去间断点为$x = 0, 1, -1$。

步骤3：计算各点的极限

$x = 0$处

当$x \to 0$时，$\sin \pi x \approx \pi x$，分子$x - x^3 \approx x$，故：
$\lim_{x \to 0} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\pi x} = \frac{1}{\pi}.$
极限存在，$x = 0$是可去间断点。

$x = 1$处

令$x = 1 + h$（$h \to 0$），则$\sin \pi x = \sin(\pi + \pi h) \approx -\pi h$，分子：
$x - x^3 = (1 + h) - (1 + h)^3 \approx -2h.$
故：
$\lim_{x \to 1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h}{-\pi h} = \frac{2}{\pi}.$
极限存在，$x = 1$是可去间断点。

$x = -1$处

令$x = -1 + h$（$h \to 0$），则$\sin \pi x = \sin(-\pi + \pi h) \approx \pi h$，分子：
$x - x^3 = (-1 + h) - (-1 + h)^3 \approx 2h.$
故：
$\lim_{x \to -1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{\pi h} = \frac{2}{\pi}.$
极限存在，$x = -1$是可去间断点。

步骤4：排除其他整数点

对于其他整数$n \neq 0, \pm 1$，分子$x - x^3 \neq 0$，分母趋近于0时极限为无穷大，故这些点为无穷间断点。