题目
注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则lim_(ntoinfty)[nint_(a)^a+(1)/(n)f(x)dx]^primeprime=_.
注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则
$\lim_{n\to\infty}\left[n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)dx\right]^{\prime\prime}=\_.$
题目解答
答案
由积分中值定理，存在 $\xi_n \in \left[ a, a + \frac{1}{n} \right]$，使得
\[
\int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \frac{f(\xi_n)}{n}.
\]
因此，
\[
n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = f(\xi_n).
\]
当 $n \to \infty$ 时，$\xi_n \to a$，故
\[
\lim_{n \to \infty} f(\xi_n) = f(a).
\]
由于 $f(a)$ 为常数，其二阶导数为 0，因此
\[
\lim_{n \to \infty} \left[ n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx \right]^{\prime\prime} = \boxed{0}.
\]
解析
步骤 1：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi_n \in \left[ a, a + \frac{1}{n} \right]$，使得 \[ \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \frac{f(\xi_n)}{n}. \]
步骤 2：计算表达式
因此， \[ n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = f(\xi_n). \]
步骤 3：求极限
当 $n \to \infty$ 时，$\xi_n \to a$，故 \[ \lim_{n \to \infty} f(\xi_n) = f(a). \]
步骤 4：求二阶导数
由于 $f(a)$ 为常数，其二阶导数为 0，因此 \[ \lim_{n \to \infty} \left[ n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx \right]^{\prime\prime} = \boxed{0}. \]
由积分中值定理，存在 $\xi_n \in \left[ a, a + \frac{1}{n} \right]$，使得 \[ \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \frac{f(\xi_n)}{n}. \]
步骤 2：计算表达式
因此， \[ n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = f(\xi_n). \]
步骤 3：求极限
当 $n \to \infty$ 时，$\xi_n \to a$，故 \[ \lim_{n \to \infty} f(\xi_n) = f(a). \]
步骤 4：求二阶导数
由于 $f(a)$ 为常数，其二阶导数为 0，因此 \[ \lim_{n \to \infty} \left[ n \int_{a}^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx \right]^{\prime\prime} = \boxed{0}. \]