题目
我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n=(sinα)/(sinβ)称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC=32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC=53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG=7cm．（参考数据：sin53°≈(4)/(5)，cos53°≈(3)/(5)，tan53°≈(4)/(3)）（1）求容器的高度AB．（2）求水的折射率n．（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′=(1)/(3)CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）.激光笔-|||-D E+ H` F-|||-A D-|||-入射角α ←法线-|||-空气-|||-水-|||-折射角β-|||-图1-|||-0-|||-A D-|||-E H-|||-F-|||-B G c-|||-图2-|||-激光笔-|||-A D-|||-E+ H` F-|||-E-|||-H F-|||-B G`GC-|||-图3
我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n=$\frac{sinα}{sinβ}$称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC=32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC=53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG=7cm．（参考数据：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）
（1）求容器的高度AB．
（2）求水的折射率n．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′=$\frac{1}{3}$CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）.
（1）求容器的高度AB．
（2）求水的折射率n．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′=$\frac{1}{3}$CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）.
题目解答
答案
解：（1）∵tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$，BC=32cm，tan53°≈$\frac{4}{3}$，
∴AB=$\frac{BC}{tan53°}$≈32×$\frac{3}{4}$=24（cm）．
（2）作HP⊥BC于点P．
∴∠HPG=90°．
由题意得：HP=$\frac{1}{2}$AB=12 cm，CP=$\frac{1}{2}$BC=16 cm，∠AHQ=∠BAC=53°．
∵CG=7 cm，
∴PG=CP-CG=9 cm．
∴HG=$\sqrt{{HP}^{2}{+PG}^{2}}$=15 cm．
∴sin∠PHG=$\frac{PG}{HG}$=$\frac{3}{5}$．
∵sin∠AHQ=sin∠BAC≈$\frac{4}{5}$．
∴n=$\frac{4}{5}$÷$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{3}$．
（3）∵CG′=$\frac{1}{3}$CB，
∴CG′=$\frac{32}{3}$ cm．
∴GG′=CG′-CG=$\frac{11}{3}$．
由题意得：HG∥H′G′，
∴$\frac{CG}{GG′}$=$\frac{CH}{HH′}$=$\frac{21}{11}$．
由题意得：E′F′∥EF，AH=CH．
∴$\frac{AH}{HH′}$=$\frac{AE}{EE′}$=$\frac{21}{11}$．
即：$\frac{12}{EE′}$=$\frac{21}{11}$．
解得：EE′=$\frac{44}{7}$≈6.3（cm）．
∴AB=$\frac{BC}{tan53°}$≈32×$\frac{3}{4}$=24（cm）．
（2）作HP⊥BC于点P．
∴∠HPG=90°．
由题意得：HP=$\frac{1}{2}$AB=12 cm，CP=$\frac{1}{2}$BC=16 cm，∠AHQ=∠BAC=53°．
∵CG=7 cm，
∴PG=CP-CG=9 cm．
∴HG=$\sqrt{{HP}^{2}{+PG}^{2}}$=15 cm．
∴sin∠PHG=$\frac{PG}{HG}$=$\frac{3}{5}$．
∵sin∠AHQ=sin∠BAC≈$\frac{4}{5}$．
∴n=$\frac{4}{5}$÷$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{3}$．
（3）∵CG′=$\frac{1}{3}$CB，
∴CG′=$\frac{32}{3}$ cm．
∴GG′=CG′-CG=$\frac{11}{3}$．
由题意得：HG∥H′G′，
∴$\frac{CG}{GG′}$=$\frac{CH}{HH′}$=$\frac{21}{11}$．
由题意得：E′F′∥EF，AH=CH．
∴$\frac{AH}{HH′}$=$\frac{AE}{EE′}$=$\frac{21}{11}$．
即：$\frac{12}{EE′}$=$\frac{21}{11}$．
解得：EE′=$\frac{44}{7}$≈6.3（cm）．
解析
步骤 1：求容器的高度AB
根据题意，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$，BC=32cm，tan53°≈$\frac{4}{3}$，代入计算AB的值。
步骤 2：求水的折射率n
作HP⊥BC于点P，利用已知条件计算出HP、CP、PG、HG的值，进而求出sin∠PHG和sin∠AHQ的值，最后计算n的值。
步骤 3：求水面上升的高度EE′
根据CG′=$\frac{1}{3}$CB，计算CG′的值，进而求出GG′的值，利用相似三角形的性质求出EE′的值。
根据题意，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$，BC=32cm，tan53°≈$\frac{4}{3}$，代入计算AB的值。
步骤 2：求水的折射率n
作HP⊥BC于点P，利用已知条件计算出HP、CP、PG、HG的值，进而求出sin∠PHG和sin∠AHQ的值，最后计算n的值。
步骤 3：求水面上升的高度EE′
根据CG′=$\frac{1}{3}$CB，计算CG′的值，进而求出GG′的值，利用相似三角形的性质求出EE′的值。