题目
18.已知 f(x)= ) -x,xlt 0 (x)^2,xgeqslant 0 . 求f`(0)及f`(0 ),又f`(0)是否存在?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左导数 f'-(0)
左导数定义为：$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
由于 $f(x) = -x$ 当 $x < 0$，且 $f(0) = 0$，因此：
$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1$
步骤 2：计算右导数 f'+(0)
右导数定义为：$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
由于 $f(x) = x^2$ 当 $x \geq 0$，且 $f(0) = 0$，因此：
$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$
步骤 3：判断 f'(0) 是否存在
由于 $f'_{-}(0) = -1$ 且 $f'_{+}(0) = 0$，且 $f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$，因此 $f'(0)$ 不存在。
左导数定义为：$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
由于 $f(x) = -x$ 当 $x < 0$，且 $f(0) = 0$，因此：
$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1$
步骤 2：计算右导数 f'+(0)
右导数定义为：$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
由于 $f(x) = x^2$ 当 $x \geq 0$，且 $f(0) = 0$，因此：
$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$
步骤 3：判断 f'(0) 是否存在
由于 $f'_{-}(0) = -1$ 且 $f'_{+}(0) = 0$，且 $f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$，因此 $f'(0)$ 不存在。