题目

茶道与气泡物理学茶道是亚洲传统技艺之一．泡茶过程中的重要步骤之一就是将水壶中的水加热至沸腾状态，此时水中会有气泡．气泡不但在日常生活中十分常见，而且在物理学、化学、医学和工程技术中有着重要的作用．然而，气泡的行为却常常令人惊奇和出乎意料，甚至在很多情况下依然无法理解．室温下纯水中溶解的空气达到饱和状态．随着温度升高，纯水中所溶解的空气压强 pab 增大，一旦超过纯水所能溶解的气体压强，溶解在水中的空气释放出来，在水壶底部和侧壁会形成空气泡(简称“ab”)，如图T9.1.1所示．图r9.1.1 水壶中的空气.泡纯水具有足够大的可浸润性，可将空气泡视为半径为 Rab 的球缺，未被浸润的底部半径为 rab (rab≪Rab)，如图T9.1.2所示．继续加热，温度升高，空气泡继续膨胀，当空气泡膨胀到一定程度时便会脱离壶底，紧接着上浮到水面而破裂，如图T9.1.3所示．图r9.1.1 水壶中的空气.泡图r9.1.1 水壶中的空气.泡当壶底水温升至临界值 T0w≈T0cnit=100∘C 时，形成了水蒸气泡(简称“vb”)，此时，水的饱和蒸气压大于外部大气压强，产生的水蒸气量增加了 10 倍，水蒸气泡膨胀而脱离壶底．水蒸气泡可认为只含有水蒸气．如果壶中的水充分加热，上升的水蒸气泡继续膨胀，到达水面后破裂；如果壶内上层的水未被充分加热，壶内竖直方向存在很大的水温梯度，上升的蒸气泡到达温度相对较低的上层水中萎缩消失，如图T9.1.4所示，这将引起所谓“诱导除气”，即强烈的振荡以及大量溶解在水中的空气以微空气泡(简称“mab”)的形式放出，从而激发超声振动．图r9.1.1 水壶中的空气.泡综上所述，在水壶烧水的过程中，气泡演化主要有三个阶段：第一阶段：空气泡在壶底和侧壁上产生并膨胀，然后转变为水蒸气泡．第二阶段：水蒸气泡脱离壶底并上升，然后在水中或水面消失．第三阶段：微空气泡在水中生成，然后上升到水面．这一理论模型与实验结果非常符合，特别是在乌拉尔州立大学完成的对沸水进行噪声分析的实验中，用宽频高灵敏传声器探测到水壶主要有三个噪声来源：①空气泡在水沸腾之前脱离壶底的过程中产生频率 ν1≈100 Hz 的噪声振动．②水蒸气泡在水中萎缩消失的过程中产生频率 ν2≈1000 Hz 的噪声振动．③微空气泡在水面下产生频率 ν3≈35∼60 Hz 的噪声振动．提示：①已知小气泡直线上升，其周围的水流为层流，即水缓慢地分层流动，如图T9.1.5(a)所示．半径为 Rb 的球体在黏性系数为 ηw 的水中以速度 vlam 缓慢运动的耗散阻力为 FA=6πηwRbvlam，称为斯托克斯公式．与图T9.1.5(a)相反的是，大气泡上升至水面时，会扰动周围的水，在其后出现空洞，形成湍流，如图T9.1.5(b)所示，此时，上升的大气泡的部分动能通过耗散力做功而损失．图r9.1.1 水壶中的空气.泡综上所述，在水壶烧水的过程中，气泡演化主要有三个阶段：②当液体表面为凸起(凹陷)时，液面边缘的分子间的相互作用形成表面张力，因此产生的附加压强为 Δp=2σR 其中 σ 为表面张力系数，R 为液体表面的曲率半径．③在处理特征时间 t 的短暂过程时，可将特征时间 t 的倒数视为对应的特征频率，即 ν=1t，由此可计算噪声频率．已知物理数据：大气压强 p0=1.016×105 Pa，液态水密度 ρw=1×103 kg/m3，水蒸气密度 ρ水蒸气={0.017 kg/m3(T=293 K)0.596 kg/m3(T=373 K)，水的饱和蒸气压 p水蒸气={0.023×105 Pa(T=293 K)1.016×105 Pa(T=373 K)，重力加速度 g=9.81 m/s2，空气摩尔质量 μ空气=0.029 kg/mol，普适气体常量 R=8.31 J/(mol⋅K)，水的表面张力系数 σ=0.0725 N/m，水的黏性系数 ηw=0.3×10−3 Pa⋅s，壶内水面到壶底的高度 H=10cm．考虑在标准大气压下圆柱形平底玻璃水壶内的烧水过程，壶底均匀加热且在壶中垂直方向存在水温梯度，气泡产生并发生变化，如图T9.1.1所示． (1)利用 2πσrab≫p外πr2ab，求空气泡位于水中高度 h(h<H)处继续膨胀的压强条件的表达式，用 pab，p0，Rab，ρw，σ，h，H 表示，其中 p外为空气泡外的压强． (2)利用 rab≪Rab，求空气泡脱离壶底的条件的表达式，用 rab，Rab，ρw，σ 表示． (3)考虑壶底半径为 Rb 的空气泡，持续加热，气泡中的蒸气达到饱和状态且空气泡半径持续增大，求给定温度 T 下，空气泡内的空气质量与饱和水蒸气的质量之比 ξ=m空气m水蒸气的表达式，用 μ空气，T，p0，p水蒸气，Rb，ρw，ρ水蒸气，σ，H 表示．并分别计算在室温 T=20∘C(Rb=0.5 mm)和沸点 T=100∘C(Rb=1 mm)时 ξ 的值． (4)利用噪声分析实验数据和牛顿运动定律，估算空气泡脱离壶底并上升 Rab 后的半径的值，如图T9.1.2所示．假设由空气泡上升造成的周围的水流入空气泡的质量约为与空气泡同体积的水球质量的一半． (5)当空气泡和壶底之间的连接“颈”非常细时，如图T9.1.3所示，求空气泡恰好离开壶底时其与壶底接触的底面半径的表达式，用Rab，ρw，σ表示．并利用(A4)小题中所求的半径的值，求空气泡恰好离开壶底时其与壶底接触的底面半径的值． (6)利用噪声分析实验数据估算水蒸气泡的萎缩消失前的半径的值，如图T9.1.4所示，假设在此过程造成萎缩的径向压强约为 3 kPa． (7)利用水蒸气泡的上述结果计算在诱导除气过程中所产生的微空气泡的半径的值． (8)利用斯托克斯定理求在层流状态下空气泡的典型上升速度的表达式，用 Rab，ρw，ηw 表示，并估算当 H=10 cm 时所需上升时间的值． (9)估算在湍流状态下水蒸气泡的平均上升速度的表达式，用 Rab，ρw，ηw 表示，并估算 H=10 cm 时所需上升时间的值．

茶道与气泡物理学

茶道是亚洲传统技艺之一．泡茶过程中的重要步骤之一就是将水壶中的水加热至沸腾状态，此时水中会有气泡．气泡不但在日常生活中十分常见，而且在物理学、化学、医学和工程技术中有着重要的作用．然而，气泡的行为却常常令人惊奇和出乎意料，甚至在很多情况下依然无法理解．

室温下纯水中溶解的空气达到饱和状态．随着温度升高，纯水中所溶解的空气压强 pab 增大，一旦超过纯水所能溶解的气体压强，溶解在水中的空气释放出来，在水壶底部和侧壁会形成空气泡(简称“ab”)，如图T9.1.1所示．

纯水具有足够大的可浸润性，可将空气泡视为半径为 Rab 的球缺，未被浸润的底部半径为 rab (rab≪Rab)，如图T9.1.2所示．继续加热，温度升高，空气泡继续膨胀，当空气泡膨胀到一定程度时便会脱离壶底，紧接着上浮到水面而破裂，如图T9.1.3所示．

当壶底水温升至临界值 T0w≈T0cnit=100∘C 时，形成了水蒸气泡(简称“vb”)，此时，水的饱和蒸气压大于外部大气压强，产生的水蒸气量增加了 10 倍，水蒸气泡膨胀而脱离壶底．水蒸气泡可认为只含有水蒸气．如果壶中的水充分加热，上升的水蒸气泡继续膨胀，到达水面后破裂；如果壶内上层的水未被充分加热，壶内竖直方向存在很大的水温梯度，上升的蒸气泡到达温度相对较低的上层水中萎缩消失，如图T9.1.4所示，这将引起所谓“诱导除气”，即强烈的振荡以及大量溶解在水中的空气以微空气泡(简称“mab”)的形式放出，从而激发超声振动．

综上所述，在水壶烧水的过程中，气泡演化主要有三个阶段：

第一阶段：空气泡在壶底和侧壁上产生并膨胀，然后转变为水蒸气泡．

第二阶段：水蒸气泡脱离壶底并上升，然后在水中或水面消失．

第三阶段：微空气泡在水中生成，然后上升到水面．

这一理论模型与实验结果非常符合，特别是在乌拉尔州立大学完成的对沸水进行噪声分析的实验中，用宽频高灵敏传声器探测到水壶主要有三个噪声来源：

①空气泡在水沸腾之前脱离壶底的过程中产生频率 ν1≈100 Hz 的噪声振动．

②水蒸气泡在水中萎缩消失的过程中产生频率 ν2≈1000 Hz 的噪声振动．

③微空气泡在水面下产生频率 ν3≈35∼60 Hz 的噪声振动．

提示：

①已知小气泡直线上升，其周围的水流为层流，即水缓慢地分层流动，如图T9.1.5(a)所示．半径为 Rb 的球体在黏性系数为 ηw 的水中以速度 vlam 缓慢运动的耗散阻力为 FA=6πηwRbvlam，称为斯托克斯公式．

与图T9.1.5(a)相反的是，大气泡上升至水面时，会扰动周围的水，在其后出现空洞，形成湍流，如图T9.1.5(b)所示，此时，上升的大气泡的部分动能通过耗散力做功而损失．

综上所述，在水壶烧水的过程中，气泡演化主要有三个阶段：

②当液体表面为凸起(凹陷)时，液面边缘的分子间的相互作用形成表面张力，因此产生的附加压强为 Δp=2σR 其中 σ 为表面张力系数，R 为液体表面的曲率半径．

③在处理特征时间 t 的短暂过程时，可将特征时间 t 的倒数视为对应的特征频率，即 ν=1t，由此可计算噪声频率．

已知物理数据：大气压强 p0=1.016×105 Pa，液态水密度 ρw=1×103 kg/m3，水蒸气密度 ρ水蒸气={0.017 kg/m3(T=293 K)0.596 kg/m3(T=373 K)，水的饱和蒸气压 p水蒸气={0.023×105 Pa(T=293 K)1.016×105 Pa(T=373 K)，重力加速度 g=9.81 m/s2，空气摩尔质量 μ空气=0.029 kg/mol，普适气体常量 R=8.31 J/(mol⋅K)，水的表面张力系数 σ=0.0725 N/m，水的黏性系数 ηw=0.3×10−3 Pa⋅s，壶内水面到壶底的高度 H=10cm．

考虑在标准大气压下圆柱形平底玻璃水壶内的烧水过程，壶底均匀加热且在壶中垂直方向存在水温梯度，气泡产生并发生变化，如图T9.1.1所示．

(1)

利用 2πσrab≫p外πr2ab，求空气泡位于水中高度 h(h<H)处继续膨胀的压强条件的表达式，用 pab，p0，Rab，ρw，σ，h，H 表示，其中 p外为空气泡外的压强．

(2)

利用 rab≪Rab，求空气泡脱离壶底的条件的表达式，用 rab，Rab，ρw，σ 表示．

(3)

考虑壶底半径为 Rb 的空气泡，持续加热，气泡中的蒸气达到饱和状态且空气泡半径持续增大，求给定温度 T 下，空气泡内的空气质量与饱和水蒸气的质量之比 ξ=m空气m水蒸气的表达式，用 μ空气，T，p0，p水蒸气，Rb，ρw，ρ水蒸气，σ，H 表示．并分别计算在室温 T=20∘C(Rb=0.5 mm)和沸点 T=100∘C(Rb=1 mm)时 ξ 的值．

(4)

利用噪声分析实验数据和牛顿运动定律，估算空气泡脱离壶底并上升 Rab 后的半径的值，如图T9.1.2所示．假设由空气泡上升造成的周围的水流入空气泡的质量约为与空气泡同体积的水球质量的一半．

(5)

当空气泡和壶底之间的连接“颈”非常细时，如图T9.1.3所示，求空气泡恰好离开壶底时其与壶底接触的底面半径的表达式，用Rab，ρw，σ表示．并利用(A4)小题中所求的半径的值，求空气泡恰好离开壶底时其与壶底接触的底面半径的值．

(6)

利用噪声分析实验数据估算水蒸气泡的萎缩消失前的半径的值，如图T9.1.4所示，假设在此过程造成萎缩的径向压强约为 3 kPa．

(7)

利用水蒸气泡的上述结果计算在诱导除气过程中所产生的微空气泡的半径的值．

(8)

利用斯托克斯定理求在层流状态下空气泡的典型上升速度的表达式，用 Rab，ρw，ηw 表示，并估算当 H=10 cm 时所需上升时间的值．

(9)

估算在湍流状态下水蒸气泡的平均上升速度的表达式，用 Rab，ρw，ηw 表示，并估算 H=10 cm 时所需上升时间的值．

题目解答

答案

(1)

pab⩾p0+pw(H−h)g+2σRab
(2)

ρw43πR3abg>σ⋅2πrab
(3)

0.017
(4)

1 mm
(5)

9×10−5 m
(6)

2∼3 mm
(7)

0.03∼0.06 mm
(8)

0.043 s
(9)

0.63 s