计算二重积分 int_(0)^1 dx int_(x^2)^1 (xy)/(sqrt(1+y^3)) dy = ( ). A. (1)/(3) sqrt(2)B. (1)/(2) sqrt(2)C. (1)/(2) (sqrt(2) - 1)D. (1)/(3) (sqrt(2) - 1)

为了计算二重积分 $\int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{1}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{3}}}dy$，我们可以首先改变积分的顺序。原积分的积分区域是 $0 \leq x \leq 1$ 且 $x^2 \leq y \leq 1$。我们可以将这个区域重写为 $0 \leq y \leq 1$ 且 $0 \leq x \leq \sqrt{y}$。因此，原积分可以重写为： \[ \int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{1}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{3}}}dy = \int_{0}^{1}dy\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{3}}}dx \] 现在，我们先对 $x$ 积分。积分 $\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{3}}}dx$ 中，$\frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}}$ 是常数，可以提到积分号外面： \[ \int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{3}}}dx = \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}}\int_{0}^{\sqrt{y}}xdx \] 积分 $\int_{0}^{\sqrt{y}}xdx$ 是一个简单的定积分： \[ \int_{0}^{\sqrt{y}}xdx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{y})^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{y}{2} \] 将这个结果代回上式，我们得到： \[ \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}}\int_{0}^{\sqrt{y}}xdx = \frac{y}{\sqrt{1+y^{3}}} \cdot \frac{y}{2} = \frac{y^2}{2\sqrt{1+y^{3}}} \] 现在，我们需要对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{1}\frac{y^2}{2\sqrt{1+y^{3}}}dy \] 为了计算这个积分，我们使用换元法。令 $u = 1 + y^3$，则 $du = 3y^2dy$，即 $y^2dy = \frac{1}{3}du$。当 $y = 0$ 时，$u = 1$；当 $y = 1$ 时，$u = 2$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{1}\frac{y^2}{2\sqrt{1+y^{3}}}dy = \int_{1}^{2}\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{6}\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{u}}du \] 积分 $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{u}}du$ 是一个简单的定积分： \[ \int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{u}}du = \int_{1}^{2}u^{-\frac{1}{2}}du = \left[2u^{\frac{1}{2}}\right]_{1}^{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{2} - 2 \] 将这个结果代回上式，我们得到： \[ \frac{1}{6}\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{u}}du = \frac{1}{6}(2\sqrt{2} - 2) = \frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1) \] 因此，原二重积分的值是： \[ \boxed{D} \]