题目
已知数列(an)中，(a)_(1)=3，(a)_(n+1)=(3(a)_(n))/((a)_{n)+2}．（1）证明：数列1-(1)/({a)_{n)}}为等比数列；（2）求(an)的通项公式；（3）令(b)_(n)=((a)_(n+1))/((a)_{n)}，证明：bn＜bn+1＜1．
已知数列{an}中，${a}_{1}=3，{a}_{n+1}=\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$．
（1）证明：数列$\{1-\frac{1}{{a}_{n}}\}$为等比数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）令${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，证明：bn＜bn+1＜1．
（1）证明：数列$\{1-\frac{1}{{a}_{n}}\}$为等比数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）令${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，证明：bn＜bn+1＜1．
题目解答
答案
（1）由${a}_{n+1}=\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{3{a}_{n}}=\frac{2}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，
则$1-\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{a}_{n}}）$，
所以数列$\{1-\frac{1}{{a}_{n}}\}$是首项为$1-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{2}{3}$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列．
（2）由（1）得$1-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}×{（\frac{2}{3}）}^{n-1}={（\frac{2}{3}）}^{n}$，
解得：${a}_{n}=\frac{1}{1-{（\frac{2}{3}）}^{n}}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-{2}^{n}}$．
（3）${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-{2}^{n+1}}•\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}=\frac{3•（{3}^{n}-{2}^{n}）}{{3}^{n+1}-{2}^{n+1}}=\frac{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-3}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}=\frac{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2-1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}$=$1-\frac{1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}$．
令$f（n）=3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2$，n∈[1，+∞），
因为$f（n）=3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2$在n∈[1，+∞）上单调递增，则$f（n）≥f（1）=3×\frac{3}{2}-2=\frac{5}{2}＞0$
所以数列$\{\frac{1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}\}$在n∈N*上单调递减，从而数列{bn}在n∈N*上单调递增，且bn＜1，
故得bn＜bn+1＜1．
则$1-\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{a}_{n}}）$，
所以数列$\{1-\frac{1}{{a}_{n}}\}$是首项为$1-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{2}{3}$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列．
（2）由（1）得$1-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}×{（\frac{2}{3}）}^{n-1}={（\frac{2}{3}）}^{n}$，
解得：${a}_{n}=\frac{1}{1-{（\frac{2}{3}）}^{n}}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-{2}^{n}}$．
（3）${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-{2}^{n+1}}•\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}=\frac{3•（{3}^{n}-{2}^{n}）}{{3}^{n+1}-{2}^{n+1}}=\frac{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-3}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}=\frac{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2-1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}$=$1-\frac{1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}$．
令$f（n）=3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2$，n∈[1，+∞），
因为$f（n）=3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2$在n∈[1，+∞）上单调递增，则$f（n）≥f（1）=3×\frac{3}{2}-2=\frac{5}{2}＞0$
所以数列$\{\frac{1}{3•{（\frac{3}{2}）}^{n}-2}\}$在n∈N*上单调递减，从而数列{bn}在n∈N*上单调递增，且bn＜1，
故得bn＜bn+1＜1．