求下列函数所指定的阶的导数:-|||-(1) =(e)^xcos x, 求y(4);-|||-(2) =(x)^2sin 2x, 求y(50),

考查要点：本题主要考查高阶导数的莱布尼茨公式的应用，以及三角函数高阶导数的周期性规律。

解题核心思路：

1. 莱布尼茨公式：对于乘积函数的高阶导数，展开为各阶组合项的和；
2. 指数函数导数特性：$e^x$的任意阶导数仍为$e^x$；
3. 三角函数周期性：$\cos x$和$\sin x$的高阶导数按周期$4$循环变化；
4. 多项式与三角函数组合：需结合乘积法则逐项求导。

破题关键点：

• 正确展开组合项：注意组合数$C_n^k$的计算；
• 简化三角函数高阶导数：利用$\sin(2x + \frac{n\pi}{2})$的周期性规律；
• 系数对齐：特别注意多项式项在求导后系数的变化。

(1) $y = e^x \cos x$，求$y^{(4)}$

应用莱布尼茨公式

根据莱布尼茨公式：
$(y)^{(4)} = \sum_{k=0}^{4} C_{4}^{k} (e^x)^{(4-k)} (\cos x)^{(k)}$

计算各阶导数

1. 指数部分：$(e^x)^{(4-k)} = e^x$（任意阶导数仍为$e^x$）；
2. 三角函数部分：$\cos x$的$k$阶导数为：
   • $k=0$：$\cos x$
   • $k=1$：$-\sin x$
   • $k=2$：$-\cos x$
   • $k=3$：$\sin x$
   • $k=4$：$\cos x$

代入组合数

$\begin{aligned}y^{(4)} &= C_{4}^{0} e^x \cos x + C_{4}^{1} e^x (-\sin x) + C_{4}^{2} e^x (-\cos x) \\&\quad + C_{4}^{3} e^x \sin x + C_{4}^{4} e^x \cos x \\&= e^x \cos x - 4e^x \sin x - 6e^x \cos x + 4e^x \sin x + e^x \cos x \\&= (-4e^x \cos x)\end{aligned}$

(2) $y = x^2 \sin 2x$，求$y^{(50)}$

应用莱布尼茨公式

$y^{(50)} = \sum_{k=0}^{50} C_{50}^{k} (x^2)^{(50-k)} (\sin 2x)^{(k)}$

计算各阶导数

1. 多项式部分：
   • $(x^2)^{(0)} = x^2$
   • $(x^2)^{(1)} = 2x$
   • $(x^2)^{(2)} = 2$
   • $(x^2)^{(k)} = 0$（当$k \geq 3$）
2. 三角函数部分：
   $(\sin 2x)^{(k)} = 2^k \sin\left(2x + \frac{k\pi}{2}\right)$

有效项筛选

仅当$50 - k \leq 2$时，$(x^2)^{(50-k)} \neq 0$，即$k = 48, 49, 50$。

代入计算

$\begin{aligned}y^{(50)} &= C_{50}^{48} \cdot 2 \cdot 2^{48} \sin\left(2x + \frac{48\pi}{2}\right) \\&\quad + C_{50}^{49} \cdot 2x \cdot 2^{49} \sin\left(2x + \frac{49\pi}{2}\right) \\&\quad + C_{50}^{50} \cdot x^2 \cdot 2^{50} \sin\left(2x + \frac{50\pi}{2}\right) \\&= 2^{50} \left[ -x^2 \sin 2x + 50x \cos 2x + \frac{1225}{2} \sin 2x \right]\end{aligned}$