题目
设平面区域D由 x=0 ,y=0 +y=dfrac (1)(2) ,x+y=1 围成,记 _(1)=iint (ln )^3(x+y)dxdy --|||-_(2)=iint ((x+y))^3dxdy _(3)=iint (sin )^3(x+y)dxdy ,则I1,I2,I3之间的关系为 () .-|||-(A) _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3) (B) _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1)-|||-(C) _(1)lt (I)_(3)lt (I)_(2) (D) _(3)lt (I)_(1)lt (I)_(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D的范围
区域D由直线x=0, y=0, $x+y=\dfrac{1}{2}$, x+y=1围成。这意味着D是一个在第一象限内的三角形区域，其顶点分别为(0,0), (0,1), (1,0)和(0,1/2), (1/2,0)。
步骤 2：分析被积函数的性质
在区域D内，$x+y$的取值范围是$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$。因此，我们可以分析${\ln}^{3}(x+y)$, ${(x+y)}^{3}$, ${\sin}^{3}(x+y)$在该区间内的性质。
- 对于${\ln}^{3}(x+y)$，由于$\ln(x+y)$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是负的，${\ln}^{3}(x+y)$也是负的。
- 对于${(x+y)}^{3}$，由于$x+y$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是正的，${(x+y)}^{3}$也是正的。
- 对于${\sin}^{3}(x+y)$，由于$\sin(x+y)$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是正的，${\sin}^{3}(x+y)$也是正的。
步骤 3：比较被积函数的大小
在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内，${\ln}^{3}(x+y) < 0 < {\sin}^{3}(x+y) < {(x+y)}^{3}$。因此，${I}_{1} < {I}_{3} < {I}_{2}$。
区域D由直线x=0, y=0, $x+y=\dfrac{1}{2}$, x+y=1围成。这意味着D是一个在第一象限内的三角形区域，其顶点分别为(0,0), (0,1), (1,0)和(0,1/2), (1/2,0)。
步骤 2：分析被积函数的性质
在区域D内，$x+y$的取值范围是$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$。因此，我们可以分析${\ln}^{3}(x+y)$, ${(x+y)}^{3}$, ${\sin}^{3}(x+y)$在该区间内的性质。
- 对于${\ln}^{3}(x+y)$，由于$\ln(x+y)$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是负的，${\ln}^{3}(x+y)$也是负的。
- 对于${(x+y)}^{3}$，由于$x+y$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是正的，${(x+y)}^{3}$也是正的。
- 对于${\sin}^{3}(x+y)$，由于$\sin(x+y)$在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内是正的，${\sin}^{3}(x+y)$也是正的。
步骤 3：比较被积函数的大小
在$\dfrac{1}{2} \leq x+y \leq 1$区间内，${\ln}^{3}(x+y) < 0 < {\sin}^{3}(x+y) < {(x+y)}^{3}$。因此，${I}_{1} < {I}_{3} < {I}_{2}$。