题目
直线 (x-1)/(3) = (y+2)/(6) = (z-5)/(2) 与 (x)/(2) = (y-3)/(9) = (z+1)/(6) 的夹角的余弦为(). A. pm (72)/(77)B. (72)/(77)C. -(36)/(57)D. -(36)/(57)
直线 $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{6} = \frac{z-5}{2}$ 与 $\frac{x}{2} = \frac{y-3}{9} = \frac{z+1}{6}$ 的夹角的余弦为().
- A. $\pm \frac{72}{77}$
- B. $\frac{72}{77}$
- C. $-\frac{36}{57}$
- D. $-\frac{36}{57}$
题目解答
答案
直线$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{6}=\frac{z-5}{2}$与$\frac{x}{2}=\frac{y-3}{9}=\frac{z+1}{6}$的方向向量分别为$\mathbf{s_1} = (3, 6, 2)$和$\mathbf{s_2} = (2, 9, 6)$。计算点积$\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2} = 72$，模长$|\mathbf{s_1}| = 7$，$|\mathbf{s_2}| = 11$。夹角余弦为：
\[
\cos \theta = \frac{|\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2}|}{|\mathbf{s_1}| |\mathbf{s_2}|} = \frac{72}{77}
\]
题目要求夹角余弦，通常取非负值，故答案为$\boxed{B}$。
**解析**：
1. **方向向量**：
$\mathbf{s_1} = (3, 6, 2)$，$\mathbf{s_2} = (2, 9, 6)$
2. **点积**：
$\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2} = 3 \times 2 + 6 \times 9 + 2 \times 6 = 72$
3. **模长**：
$|\mathbf{s_1}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = 7$，$|\mathbf{s_2}| = \sqrt{2^2 + 9^2 + 6^2} = 11$
4. **夹角余弦**：
$\cos \theta = \frac{|72|}{7 \times 11} = \frac{72}{77}$
答案：$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查空间直线方向向量的确定，以及利用向量点积公式计算两向量夹角的余弦值。
解题核心思路：
- 确定方向向量：根据直线的对称式方程，直接读出方向向量。
- 计算点积与模长：利用向量点积公式和模长公式进行计算。
- 应用余弦公式：注意夹角的余弦值取非负值。
破题关键点：
- 方向向量的提取：直线方程中的分母对应方向向量的分量。
- 点积的绝对值：夹角余弦公式中需对点积取绝对值，确保结果非负。
步骤1：确定方向向量
- 第一条直线：$\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{6} = \frac{z-5}{2}$，方向向量为 $\mathbf{s_1} = (3, 6, 2)$。
- 第二条直线：$\frac{x}{2} = \frac{y-3}{9} = \frac{z+1}{6}$，方向向量为 $\mathbf{s_2} = (2, 9, 6)$。
步骤2：计算向量点积
$\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2} = 3 \times 2 + 6 \times 9 + 2 \times 6 = 6 + 54 + 12 = 72$
步骤3：计算向量模长
$|\mathbf{s_1}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
$|\mathbf{s_2}| = \sqrt{2^2 + 9^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 81 + 36} = \sqrt{121} = 11$
步骤4：计算夹角余弦
$\cos \theta = \frac{|\mathbf{s_1} \cdot \mathbf{s_2}|}{|\mathbf{s_1}| |\mathbf{s_2}|} = \frac{|72|}{7 \times 11} = \frac{72}{77}$