题目

6.设矩阵A= (} 1& lambda & -1& 2 2& -1& lambda & 5 1& 10& -6& 1 ) . 其中λ为参数,求矩阵A的秩.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查矩阵秩的求解，涉及参数λ对矩阵秩的影响，需要通过行变换将矩阵化为阶梯形，并分析不同λ取值下的非零行数量。

解题核心思路：

  1. 行变换化阶梯形：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，观察非零行的数量。
  2. 分情况讨论：重点关注关键参数λ的取值，可能导致某行全为零，从而改变秩。
  3. 关键点：当λ=3时，第三行可能全为零，导致秩减少；当λ≠3时，所有行均为非零行，秩为3。

将矩阵A进行行变换：

  1. 消去第二、第三行的第一个元素：

    • 第二行减去2倍第一行：
      $R2 \leftarrow R2 - 2R1 \Rightarrow [0, -1-2\lambda, \lambda+2, 1]$
    • 第三行减去1倍第一行：
      $R3 \leftarrow R3 - R1 \Rightarrow [0, 10-\lambda, -5, -1]$

    此时矩阵为：
    $\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2 \\ 0 & -1-2\lambda & \lambda+2 & 1 \\ 0 & 10-\lambda & -5 & -1 \end{pmatrix}$

  2. 消去第三行的第二个元素：

    • 若$-1-2\lambda \neq 0$，用第二行消去第三行的第二个元素：
      $R3 \leftarrow R3 - \frac{10-\lambda}{-1-2\lambda}R2$
      化简后第三行第三个元素为：
      $-5 - \frac{(10-\lambda)(\lambda+2)}{-1-2\lambda}$
      当$\lambda \neq 3$时，该元素非零，第三行为非零行，秩为3。
    • 当$\lambda = 3$时，第三行全为零，秩为2。