题目
当曲线C取下述()时,则曲线积分 int_(C) sin(x-y), ds 可解释为C的质量.A. x+y=1, |x|leq1B. x+y=-1, |x|leq1C. x-y=-1, |x|leq1D. x-y=1, |x|leq1
当曲线C取下述()时,则曲线积分 $\int_{C} \sin(x-y)\, ds$ 可解释为C的质量.
A. $x+y=1, |x|\leq1$
B. $x+y=-1, |x|\leq1$
C. $x-y=-1, |x|\leq1$
D. $x-y=1, |x|\leq1$
题目解答
答案
D. $x-y=1, |x|\leq1$
解析
步骤 1：理解曲线积分与质量的关系
曲线积分 $\int_{C} f(x,y) \, ds$ 可以解释为曲线 $C$ 上的线密度函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $C$ 的质量。因此，$f(x,y)$ 必须是非负的，以确保质量为非负值。
步骤 2：分析各选项
- **A**：$x + y = 1$，则 $x - y = 2x - 1$，范围为 $[-3, 1]$，$\sin(2x-1)$ 有正有负。
- **B**：$x + y = -1$，则 $x - y = 2x + 1$，范围为 $[-1, 3]$，$\sin(2x+1)$ 有正有负。
- **C**：$x - y = -1$，$\sin(-1) = -\sin(1)$ 为负常数（但通常线密度取正）。
- **D**：$x - y = 1$，$\sin(1)$ 为正常数，符合线密度要求。
步骤 3：选择符合线密度要求的选项
根据上述分析，只有选项 D 中的 $\sin(1)$ 为正常数，符合线密度要求，因此曲线积分 $\int_{C} \sin(x-y) \, ds$ 可以解释为曲线 $C$ 的质量。
曲线积分 $\int_{C} f(x,y) \, ds$ 可以解释为曲线 $C$ 上的线密度函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $C$ 的质量。因此，$f(x,y)$ 必须是非负的，以确保质量为非负值。
步骤 2：分析各选项
- **A**：$x + y = 1$，则 $x - y = 2x - 1$，范围为 $[-3, 1]$，$\sin(2x-1)$ 有正有负。
- **B**：$x + y = -1$，则 $x - y = 2x + 1$，范围为 $[-1, 3]$，$\sin(2x+1)$ 有正有负。
- **C**：$x - y = -1$，$\sin(-1) = -\sin(1)$ 为负常数（但通常线密度取正）。
- **D**：$x - y = 1$，$\sin(1)$ 为正常数，符合线密度要求。
步骤 3：选择符合线密度要求的选项
根据上述分析，只有选项 D 中的 $\sin(1)$ 为正常数，符合线密度要求，因此曲线积分 $\int_{C} \sin(x-y) \, ds$ 可以解释为曲线 $C$ 的质量。