题目
3.设A,B,C均为n阶矩阵,且 =1, 则-|||-下列矩阵乘积一定等于I的是 () .-|||-(A)ACB (B) BAC (C) CAB (D)CBA
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质及逆矩阵的应用，特别是多个矩阵相乘时的顺序调整与逆矩阵的关系。
解题核心思路：
- 逆矩阵的性质：若矩阵乘积为单位矩阵，则每个矩阵均可逆，且逆矩阵的顺序与原乘积顺序相关。
- 矩阵乘法的结合律：通过灵活添加或调整矩阵乘法的顺序，结合已知条件推导目标表达式。
- 关键步骤：利用已知条件 $ABC = I$，通过左乘或右乘特定矩阵，逐步变形推导出选项中的表达式是否等于 $I$。
破题关键点：
- 逆矩阵的推导：由 $ABC = I$ 可得 $A^{-1} = BC$，$B^{-1} = CA$，$C^{-1} = AB$。
- 选项验证：通过代数变形验证每个选项是否等于 $I$，重点分析选项 C 的变形过程。
选项分析
选项 C：$CAB$
- 从已知条件出发：
已知 $ABC = I$，对等式两边左乘矩阵 $C$，得：
$C \cdot ABC = C \cdot I \implies (CA) \cdot BC = C.$ - 利用逆矩阵性质：
由 $ABC = I$ 可知 $BC = A^{-1}$，代入上式：
$(CA) \cdot A^{-1} = C \implies C \cdot (A \cdot A^{-1}) = C \implies C \cdot I = C.$ - 进一步变形：
上式恒成立，但需验证 $CAB$ 是否等于 $I$。对原式 $C \cdot ABC = C$，结合结合律：
$CAB \cdot C = C \implies (CAB) \cdot C = C.$
因 $C$ 可逆，两边右乘 $C^{-1}$ 得：
$CAB = I.$
因此 选项 C 正确。
其他选项验证（简要分析）
- 选项 A：$ACB$
若 $ACB = I$，则 $B^{-1} = AC$，但由 $ABC = I$ 可得 $B^{-1} = CA \neq AC$（矩阵乘法不满足交换律），故不一定成立。 - 选项 B：$BAC$
类似地，若 $BAC = I$，则 $C^{-1} = BA$，但实际 $C^{-1} = AB \neq BA$，故不成立。 - 选项 D：$CBA$
若 $CBA = I$，则 $A^{-1} = CB$，但实际 $A^{-1} = BC \neq CB$，故不成立。