质点在平面上运动,已知其位置矢量的表达式为r=at 2 i+bt 2 j(式中a,b为常数),则质点做:A. 匀速直线运动B. 变速直线运动C. 抛物线运动D. 一般曲线运动

考查要点：本题主要考查质点运动轨迹的判断及运动性质的分析，涉及直线运动与曲线运动的区分以及匀速与变速运动的判断。

解题核心思路：

1. 轨迹分析：通过消去时间参数$t$，得到$x$与$y$的关系式，判断轨迹形状。
2. 速度分析：对位置矢量求导得到速度矢量，分析速度的大小和方向是否变化。

破题关键点：

• 轨迹为直线：若$x$与$y$成正比，则轨迹为直线。
• 速度大小变化：若速度矢量的大小随时间变化，则为变速运动。

轨迹分析

位置矢量表达式为：
$\mathbf{r} = a t^2 \mathbf{i} + b t^2 \mathbf{j}$

• $x$分量：$x = a t^2$
• $y$分量：$y = b t^2$

消去$t^2$得：
$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{b}{a} x$
轨迹为一条过原点的直线，斜率为$\frac{b}{a}$。

速度分析

速度矢量为位置矢量对时间的导数：
$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = 2a t \mathbf{i} + 2b t \mathbf{j}$

• 速度大小：
  $v = \sqrt{(2a t)^2 + (2b t)^2} = 2t \sqrt{a^2 + b^2}$
  速度大小随时间$t$增大而增大，说明是变速运动。
• 速度方向：
  $\tan\theta = \frac{2b t}{2a t} = \frac{b}{a} \quad (\text{恒定})$
  速度方向始终不变。

结论：质点沿直线运动，速度大小变化，方向不变，属于变速直线运动。