题目
求极限：lim _(xarrow 0)dfrac (1-{x)^2-(e)^-(x^2)}(x{sin )^3(2x)}
求极限：
题目解答
答案
解:
解析
步骤 1：化简极限表达式
首先，我们注意到当$x\rightarrow 0$时，$\sin(2x)$可以近似为$2x$，因为$\sin(x)$在$x\rightarrow 0$时的泰勒展开式为$x-\frac{x^3}{6}+\cdots$，所以$\sin(2x)$可以近似为$2x$。因此，$\sin^3(2x)$可以近似为$(2x)^3=8x^3$。这样，原极限可以化简为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-{x}^{2}-{e}^{-{x}^{2}}}{8{x}^{4}}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。因此，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2x+2x{e}^{-{x}^{2}}}{32{x}^{3}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时仍然趋向于0，我们再次应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2{e}^{-{x}^{2}}-4x^2{e}^{-{x}^{2}}}{96{x}^{2}}$。进一步化简，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2{e}^{-{x}^{2}}}{96{x}^{2}}$，因为$-4x^2{e}^{-{x}^{2}}$在$x\rightarrow 0$时趋向于0。
步骤 4：计算最终极限
由于$e^{-x^2}$在$x\rightarrow 0$时趋向于1，我们可以将极限进一步简化为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2}{96{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-{x}^{2}}{16{x}^{2}}=-\dfrac {1}{16}$。
首先，我们注意到当$x\rightarrow 0$时，$\sin(2x)$可以近似为$2x$，因为$\sin(x)$在$x\rightarrow 0$时的泰勒展开式为$x-\frac{x^3}{6}+\cdots$，所以$\sin(2x)$可以近似为$2x$。因此，$\sin^3(2x)$可以近似为$(2x)^3=8x^3$。这样，原极限可以化简为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-{x}^{2}-{e}^{-{x}^{2}}}{8{x}^{4}}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。因此，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2x+2x{e}^{-{x}^{2}}}{32{x}^{3}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时仍然趋向于0，我们再次应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2{e}^{-{x}^{2}}-4x^2{e}^{-{x}^{2}}}{96{x}^{2}}$。进一步化简，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2{e}^{-{x}^{2}}}{96{x}^{2}}$，因为$-4x^2{e}^{-{x}^{2}}$在$x\rightarrow 0$时趋向于0。
步骤 4：计算最终极限
由于$e^{-x^2}$在$x\rightarrow 0$时趋向于1，我们可以将极限进一步简化为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-2+2}{96{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-{x}^{2}}{16{x}^{2}}=-\dfrac {1}{16}$。