[例19](2017,数二)微分方程 '-4y'+8y=(e)^2x(1+cos 2x) 的特解可设为 ^2-|||-(A) ^2x+(e)^2x(Bcos 2x+Csin 2x), (B) (e)^2x+(e)^2x(Bcos 2x+Csin 2x).-|||-(C) ^2x+x(e)^2x(Bcos 2x+Csin 2x). (D) (e)^2x+x(e)^2x(Bcos 2x+Csin 2x).

本题考察非齐次线性微分方程特解形式的确定，核心在于待定系数法的应用。关键点如下：

1. 齐次方程特征根分析：先求解对应的齐次方程，确定特征根，判断非齐次项是否与齐次解重复。
2. 非齐次项分解：将非齐次项拆分为指数函数与三角函数的组合，分别处理。
3. 特解形式调整：若非齐次项中的因子与齐次解重复，则需在特解中乘以$x$的幂次。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为 $y'' -4y' +8y =0$，特征方程为：
$r^2 -4r +8 =0$
解得复根：
$r = 2 \pm 2i$
因此，齐次解形式为：
$y_h = e^{2x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$

步骤2：分析非齐次项

非齐次项为 $e^{2x}(1 + \cos 2x)$，可分解为两部分：

1. $e^{2x}$：指数函数乘以常数项。
2. $e^{2x}\cos 2x$：指数函数与三角函数的乘积。

步骤3：确定特解形式

• 第一部分 $e^{2x}$：
  齐次解中不包含单独的$e^{2x}$项，因此特解可设为 $A e^{2x}$。

• 第二部分 $e^{2x}\cos 2x$：
  齐次解中已包含$e^{2x}\cos 2x$，因此特解需乘以$x$，形式为 $x e^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$。

步骤4：组合特解

将两部分特解叠加，得：
$y^{\circ} = A e^{2x} + x e^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$
对应选项 (C)。