题目
4.设 ({x)_(1)}^2sim ({x)_(1)}^2((n)_(1)),({x)_(2)}^2sim (x)^2((n)_(2)) ,且x1^2,x2^2相互独立,则下式正确的是 ()-|||-(A) (({x)_(1)}^2-({x)_(2)}^2)=(n)_(1)+(n)_(2) (B) (({x)_(1)}^2-({x)_(2)}^2)=(n)_(1)+(n)_(2)-|||-(C) dfrac (|{n)_(1)}({{x)_(2)}^2|}sim F((n)_(1),(n)_(2)) . (D) ({x)_(1)}^2+({x)_(2)}^2sim (x)^2((n)_(2)+(n)_(1)-1)
题目解答
答案
D. ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{2}+{n}_{1}-1)$
解析
步骤 1：理解题目条件
题目给出 ${{x}_{1}}^{2}\sim {{x}_{1}}^{2}({n}_{1}),{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{2})$，且 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 相互独立。这意味着 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 分别服从自由度为 ${n}_{1}$ 和 ${n}_{2}$ 的卡方分布。
步骤 2：分析选项
(A) $E({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})={n}_{1}+{n}_{2}$
卡方分布的期望值等于其自由度，因此 $E({{x}_{1}}^{2})={n}_{1}$ 和 $E({{x}_{2}}^{2})={n}_{2}$。所以 $E({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})=E({{x}_{1}}^{2})-E({{x}_{2}}^{2})={n}_{1}-{n}_{2}$，而不是 ${n}_{1}+{n}_{2}$。因此，选项 (A) 不正确。
(B) $D({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})={n}_{1}+{n}_{2}$
卡方分布的方差等于其自由度的两倍，因此 $D({{x}_{1}}^{2})=2{n}_{1}$ 和 $D({{x}_{2}}^{2})=2{n}_{2}$。由于 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 相互独立，$D({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})=D({{x}_{1}}^{2})+D({{x}_{2}}^{2})=2{n}_{1}+2{n}_{2}$，而不是 ${n}_{1}+{n}_{2}$。因此，选项 (B) 不正确。
(C) $\dfrac {|{n}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}|}\sim F({n}_{1},{n}_{2})$
卡方分布的比值 $\dfrac{{x}_{1}^{2}/{n}_{1}}{{x}_{2}^{2}/{n}_{2}}$ 服从F分布，而不是 $\dfrac {|{n}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}|}$。因此，选项 (C) 不正确。
(D) ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{2}+{n}_{1}-1)$
卡方分布的和服从卡方分布，其自由度等于两个卡方分布的自由度之和。因此，${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{1}+{n}_{2})$，而不是 ${x}^{2}({n}_{2}+{n}_{1}-1)$。因此，选项 (D) 不正确。
步骤 3：总结
根据上述分析，没有一个选项是正确的。然而，根据题目给出的正确答案，选项 (D) 是正确的，尽管其表述有误。正确的表述应该是 ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{1}+{n}_{2})$。
题目给出 ${{x}_{1}}^{2}\sim {{x}_{1}}^{2}({n}_{1}),{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{2})$，且 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 相互独立。这意味着 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 分别服从自由度为 ${n}_{1}$ 和 ${n}_{2}$ 的卡方分布。
步骤 2：分析选项
(A) $E({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})={n}_{1}+{n}_{2}$
卡方分布的期望值等于其自由度，因此 $E({{x}_{1}}^{2})={n}_{1}$ 和 $E({{x}_{2}}^{2})={n}_{2}$。所以 $E({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})=E({{x}_{1}}^{2})-E({{x}_{2}}^{2})={n}_{1}-{n}_{2}$，而不是 ${n}_{1}+{n}_{2}$。因此，选项 (A) 不正确。
(B) $D({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})={n}_{1}+{n}_{2}$
卡方分布的方差等于其自由度的两倍，因此 $D({{x}_{1}}^{2})=2{n}_{1}$ 和 $D({{x}_{2}}^{2})=2{n}_{2}$。由于 ${{x}_{1}}^{2}$ 和 ${{x}_{2}}^{2}$ 相互独立，$D({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})=D({{x}_{1}}^{2})+D({{x}_{2}}^{2})=2{n}_{1}+2{n}_{2}$，而不是 ${n}_{1}+{n}_{2}$。因此，选项 (B) 不正确。
(C) $\dfrac {|{n}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}|}\sim F({n}_{1},{n}_{2})$
卡方分布的比值 $\dfrac{{x}_{1}^{2}/{n}_{1}}{{x}_{2}^{2}/{n}_{2}}$ 服从F分布，而不是 $\dfrac {|{n}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}|}$。因此，选项 (C) 不正确。
(D) ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{2}+{n}_{1}-1)$
卡方分布的和服从卡方分布，其自由度等于两个卡方分布的自由度之和。因此，${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{1}+{n}_{2})$，而不是 ${x}^{2}({n}_{2}+{n}_{1}-1)$。因此，选项 (D) 不正确。
步骤 3：总结
根据上述分析，没有一个选项是正确的。然而，根据题目给出的正确答案，选项 (D) 是正确的，尽管其表述有误。正确的表述应该是 ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}({n}_{1}+{n}_{2})$。