题目
4.求曲面 ^2+(y)^2+(z)^2=14 上点(1,2,3)处的切平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面方程和点
给定曲面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=14$，点为 (1,2,3)。
步骤 2：计算曲面在给定点处的法向量
曲面的法向量可以通过计算曲面方程的梯度得到。曲面方程可以写为 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14 = 0$。梯度 $\nabla F$ 为：
$$\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right) = (2x, 2y, 2z)$$
在点 (1,2,3) 处，法向量为：
$$\nabla F(1,2,3) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (2, 4, 6)$$
步骤 3：写出切平面方程
切平面方程可以表示为法向量与点的坐标之间的点法式方程，即：
$$2(x - 1) + 4(y - 2) + 6(z - 3) = 0$$
化简得：
$$2x + 4y + 6z - 2 - 8 - 18 = 0$$
$$2x + 4y + 6z - 28 = 0$$
进一步化简得：
$$x + 2y + 3z - 14 = 0$$
给定曲面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=14$，点为 (1,2,3)。
步骤 2：计算曲面在给定点处的法向量
曲面的法向量可以通过计算曲面方程的梯度得到。曲面方程可以写为 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14 = 0$。梯度 $\nabla F$ 为：
$$\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right) = (2x, 2y, 2z)$$
在点 (1,2,3) 处，法向量为：
$$\nabla F(1,2,3) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (2, 4, 6)$$
步骤 3：写出切平面方程
切平面方程可以表示为法向量与点的坐标之间的点法式方程，即：
$$2(x - 1) + 4(y - 2) + 6(z - 3) = 0$$
化简得：
$$2x + 4y + 6z - 2 - 8 - 18 = 0$$
$$2x + 4y + 6z - 28 = 0$$
进一步化简得：
$$x + 2y + 3z - 14 = 0$$