题目
int (e)^-xcos xdx;
;
题目解答
答案
因为
,
所以 
.
解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。我们选择 $u = \cos x$ 和 $dv = e^{-x} dx$，则 $du = -\sin x dx$ 和 $v = -e^{-x}$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 $\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$。
步骤 3：再次应用分部积分法
对 $\int e^{-x} \sin x dx$ 再次应用分部积分法，选择 $u = \sin x$ 和 $dv = e^{-x} dx$，则 $du = \cos x dx$ 和 $v = -e^{-x}$。因此，$\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x dx$。
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合，得到 $\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x dx)$。化简得到 $2\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x$。
步骤 5：求解积分
将上式两边同时除以 2，得到 $\int e^{-x} \cos x dx = \frac{1}{2}(-e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x) + C$。
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。我们选择 $u = \cos x$ 和 $dv = e^{-x} dx$，则 $du = -\sin x dx$ 和 $v = -e^{-x}$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 $\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$。
步骤 3：再次应用分部积分法
对 $\int e^{-x} \sin x dx$ 再次应用分部积分法，选择 $u = \sin x$ 和 $dv = e^{-x} dx$，则 $du = \cos x dx$ 和 $v = -e^{-x}$。因此，$\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x dx$。
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合，得到 $\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x dx)$。化简得到 $2\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x$。
步骤 5：求解积分
将上式两边同时除以 2，得到 $\int e^{-x} \cos x dx = \frac{1}{2}(-e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x) + C$。